1.11.Что такое билинейный лоскут и лоскут Кунса? Каковы их геометрические свойства?

Инженерные кривые и поверхности Билинейный лоскут

Куски поверхностей удобно представлять в виде области отображения прямоугольника в параметрическом пространстве P(u, v), u0 ≤ u ≤ u1, v0 ≤ v ≤ v1 (зачастую u0 = v0 = 0, u1 = v1 = 1). Такая конечная поверх' ность называется лоскутом. Лоскуты удобно «сшивать» друг с другом, образуя непрерывную поверхность нужной степени гладкости. Простейшим видом лоскута является билинейная поверхность, задаваемая четырьмя граничными вершинами:

P(0, 0) = 𝑃00, P(0, 1) = 𝑃01, P(1, 0) = 𝑃10, P(1,1) = 𝑃11.

Оставшиеся точки поверхности образуются линейной аппроксимацией заданных. Нетрудно видеть, что уравнение билинейного лоскута имеет следующий вид: P(u, v) = (1–u)(1–v) 𝑃00 + (1–u)v𝑃01, + u(1–v) 𝑃10, + uv𝑃11,

0 ≤ u ≤ 1, 0 ≤ v ≤ 1.

Лоскут Кунса

Лоскут Кунса (Coons’ patch) является обобщением поверхности сдвига и линейчатой поверхности и задается не двумя, а четырьмя граничными кривыми Р0(t), Р1 (t), 𝑄0 (t), 𝑄01(t), образующими замкнутый контур в трехмерном пространстве (рис. 9)

1.12.Поверхности сдвига и вращения.

Поверхность сдвига (sweptsurface) задается точками заданной кривой P(t) = (x(t), y(t), z(t)), 0 ≤ t ≤ 1, при ее движении в заданном направлении e = (ex, ey, ez). При этом получается следующая параметризация поверхности сдвига: P(u, v) = = P(u) + ve. Аналогичным образом задается поверхность вращения. Общий случай описывается движением заданной кривой (P1(t)) вдоль направляющей кривой (P2(t)) (рис. 7). Уравнение обобщенной поверхности сдвига записывается как P(u, v) = P1(u) + P2(v) – P2(0), 0 ≤ u ≤ 1, 0 ≤ v ≤ 1.

1.13.Какие существуют способы задания поверхности по двум кривым?

Линейчатая поверхность (ruledsurface) является еще одним способом задания поверхности по двум кривым – P1(t) и P2(t), 0 ≤ t ≤ 1. Поверхность образуется прямыми линиями, соединяющими точки двух кривых с одинаковой параметризацией (рис. 8). Например, если две кривые представляют собой окружности одинакового радиуса с общей осью, то соответствующая линейчатая поверхность будет цилиндром. Точка и окружность образуют конус. В общем случае параметрическое уравнение линейчатой поверхности имеет вид P(u, v) = uP1(v) + (1–u)P2(v), 0 ≤ u ≤ 1, 0 ≤ v ≤ 1.

1.14.Дайте определение кривой Безье. Каковы ее геометрические свойства?

В 1960'х годах французский инженер Пьер Безье (PierreBeêzier) предложил специальный вид гладкой кривой, названной впослед' ствии его именем. Независимо его открытие было повторено другим французским инженером – Полем де Кастельжо (PauldeFagetdeCasteljau). Именем последнего назван алгоритм линейной аппроксимации кривых Безье. Кривые Безье могут рассматриваться как более интеллектуальные конструкции по отношению к Эрмитовым кривым. Кривая Безье задается ломаной линией (называемой характеристическим многоугольником), форму которой она повторяет (проходя через две концевые точки и оставаясь полностью внутри характеристического многоугольника).

Уравнение кривой Безье степени n имеет следующий вид:

P(t) = Σn i=0Bi,n(t)Pi , 0 ≤ t ≤ 1

В частности, уравнение кривой Безье третьей степени (рис. 11) имеет вид

Поверхности Безье степени nm определяются аналогичным спосо' бом по набору из (n + 1)(m + 1) точек Pi,j :