1.8.Назовите основные классы трансформаций в трехмерном аффинном пространстве. Какими геометрическими параметрами они характеризуются?

Изометрии аффинного пространства, сохраняющие знак векторного произведения, называются трансформациями; их можно исчерпывающим образом разделить на три класса:

- параллельный перенос вдоль заданного вектора;

- вращение вокруг заданной оси;

- винтовое движение (комбинация вращения вокруг заданной оси со смещением вдоль нее).

Таким образом, любую трехмерную трансформацию можно охарактеризовать следующими геометрическими параметрами:

e – единичный вектор (задающий направление оси вращения или направление параллельного переноса);

Ω – точка опоры (вместе с вектором e она задает ось вращения);

α – угол вращения (зависит от направления);

β – величина смещения вдоль вектора e.

Свойства этих параметров в зависимости от класса трансформа' ции определяются с помощью табл.

1.9.Что такое однородные координаты? в чем преимущества их использования для представления трансформаций в трехмерном аффинном пространстве?

Чтобы преодолеть неудобства, вызванные разными способами применения трансформаций к точкам и векторам (каждая из этих сущностей задается тремя скалярными величинами), часто используют понятие однородных координат. Однородные координаты задаются четверкой чисел (x, y, z, w)T. При этом точка P = (a, b, c) T представляется в однородных координатах как (a, b, c, 1)T, а вектор v = (d, e, f) T как (d, e, f, 0)T. Впрочем, одну и ту же точку можно представить и по' другому – с использованием произвольной четвертой координаты, достаточно лишь удовлетворить равенства:

a = xw,

b = yw,

c = zw,

w ≠ 0

Главное удобство однородных координат состоит в том, что с их помощью трансформация для точек и векторов задается одним и тем же способом – с помощью матрицы 4×4, имеющей следующую структуру:

Отметим, что умножение такой матрицы на однородный вектор с нулевой четвертой координатой (который, напомним, задает вектор в трехмерном аффинном пространстве) будет эквивалентно повороту этого трехмерного вектора в соответствии с матрицей вращения, задаваемой коэффициентами r11, …, r33.

1.10.Дайте определение углов Эйлера. Приведите алгоритмы вычисления трансформации с заданными углами Эйлера и вычисления углов Эйлера по трансформации, заданной в матричном виде.

Параметризации трансформаций трехмерного аффинного пространства с помощью семи и тем более двенадцати параметров не являются минимальными, ведь твердое тело имеет всего шесть степеней свободы в трехмерном пространстве. Если представление трансляционной части трансформации с помощью трех компонент выглядит минимальным, то

описание вращения с помощью вектора и угла или 3×3'матрицы можно сократить. Одним из известных способов является декомпозиция произвольного вращения вокруг оси, проходя' щей через начало координат, на три вращения вокруг координатных осей. Во-первых, нетрудно вывести формулы для матриц вращения вокруг координатных осей (аналитическими рассуждениями или простым использованием вышеприведенной формулы Эйлера–Родригеса для вращения вокруг произвольной оси):

можно показать, что произвольная матрица вращения R может быть представлена в виде произведения матриц поворота вокруг координатных осей: R = Rx(θ)Ry(ϕ)Rz(ψ). Параметры θ, ϕ и ψ, задающие углы поворота вокруг координатных осей, называются углами Эйлера. Из этой формулы нетрудно получить алгоритм рас' чета этих углов по произвольной матрице вращения, заданной девятью коэффициентами.