1.7.Назовите основные способы задания кривых и поверхностей в трехмерном аффинном пространстве. Приведите примеры.

Аффинное пространство и соглашение о нотации Напомним, что аффинное пространство задается двумя непересекающимися множествами – точек и векторов, а также операцией откладывания точки от другой точки с помощью вектора и обратной к ней операции вычисления вектора, соединяющего две точки. Множество векторов должно образовывать евклидово пространство (линейное пространство со скалярным произведением). Мы будем иметь дело только с трехмерным аффинным пространством, в котором также определено векторное произведение. Точки и векторы в этом пространстве могут задаваться тройками вещественных чисел. В дальнейшем будем придерживаться следующего соглашения о нотации: точки будем обозначать прописными жирными латинскими и греческими буквами: P, Ω, векторы – строчными жирными буквами: e, θ, скалярные величины – обычным шрифтом: x, α. Оставшийся способ обозначений – прописные нежирные буквы – будем использовать для обозначения матриц. Скалярное произведение век' торов u и v обозначим (u, v), векторное – u^v. При работе с формулами, содержащими векторное произведение, часто бывает удобно представлять его в виде произведения 3x3'матрицы и вектора. Делается это путем определения операции ^: R3 → R3x3, отображающей произвольный трехмерный вектор в матрицу, называемую его косо-симметрическим тензором:

Нетрудно видеть, что u^v = 𝑢̂v. Нормой вектора будем называть корень из его скалярного произведения с самим собой (которое всегда положительно): . При записи векторноматричных операций будем пользоваться операцией транспонирования, обозначая ее 𝑅т

Способы задания аналитических кривых и поверхностей

Задавать множество точек в трехмерном аффинном пространстве можно несколькими способами. Первый – описать условия на координаты точек множества в алгебраическом виде. При этом речь может идти о явном (y = a𝑥2 , z = 0) или неявном (𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 1) задании. Другим способом спецификации множества точек является его пара' метрическое описание (например, уравнение спирали x(t) = sin t, y(t) = = cos t, z(t) = a(t). Заметим, что 1 многообразия (кривые) параметризуются одной переменной, тогда как 2 'многообразия (поверхности) требуют двух переменных при параметрическом описании. В силу ряда причин в CAD- системах удобно комбинировать неявное координатное и параметрическое задание многообразий (в частности, при нахождении пересечения двух множеств удобно подставить в координатное уравнение одного параметрическое

описание другого). Ниже мы разберем, каким образом задаются простейшие многообразные формы в трехмерном пространстве, указывая оба способа задания. Одним из способов задания прямой является спецификация какой либо точки на ней, а также указание единичного вектора, задающего направление прямой:

Параметрическое уравнение прямой в этом случае имеет вид L(t) = P + te. Популярным способом представления плоскости является спецификация какой-либо точки на ней и указание единичного вектора нормали:

Параметрическое уравнение плоскости выглядит как

F(u, v) = P + uf + vg

Сфера задается центром и радиусом:

ипараметризуетсясферическимикоординатами:

S(u, v) = P + (r cos u cos v, r sin u cos v, r sin v).

Окружность задается своим центром, направлением оси и радиусом:

O(t) = P + (r cos t, r sin t, 0)