3.4.Опишите метод Ньютона для решения оптимизационных задач.

Метод Ньютона Методы второго порядка используют информацию о значениях вторых производных, выражаемую для скалярной функции нескольких переменных в виде матрицы Гессе. Данные методы имеют

квадратичную скорость сходимости в окрестности решения и могут применяться для точного вычисления оптимальной точки. Классическим примером метода второго порядка является многопеременный метод Ньютона. При высокой скорости сходимости главный недостаток метода Ньютона состоит в том, что время выполнения одной итерации кубически растет с ростом размерности задачи (из-за сложности обращения матрицы Гессе), становясь неприемлемо большим (на пользовательских сценариях, требующих интерактивной реакции системы) даже для задач относительно скромной размерности – от сотни до тысячи переменных. Чтобы избежать высокой стоимости итерации, используются так называемые квазиньютоновские методы, в которых обратная матрица Гессе, найденная на предыдущем шаге, аппроксимируется в соответствии с новыми значениями.

3.5.Охарактеризуйте известные методы быстрого прототипирования и изготовления.

Быстрое прототипирование и изготовление Очень часто до начала производства детали из металла необходимо изготовить ее копию из пластика или композитного материала (называемую прототипом) для того, чтобы:

• визуально и тактильно оценить дизайн будущего изделия;

• проверить процессы сборки-разборки механизма из составляющих его деталей;

• протестировать кинематику механизма;

• вычислить реальные аэродинамические характеристики детали;

• использовать прототип для физического изготовления формы с последующим литьем в ней металлической детали.

Важно, что процесс изготовления детали из композитного материала не требует использования металлорежущих станков, а значит, отпадает необходимость в подготовке технологического плана изготовления прототипа и программирования станков с ЧПУ. Все данные для производства прототипа содержатся непосредственно в его твердотельной виртуальной модели. Процесс изготовления физической детали непосредственно по ее геометрической CAD'модели называется быстрым прототипированием. В настоящее время существуют следующие процессы быстрого прототипирования:

- стереолитография;

- отверждение на твердом основании;

- избирательное лазерное спекание;

- трехмерная печать;

- ламинирование;

- моделирование методом наплавления.

Существует несколько промышленных станков для производства деталей вышеперечисленными методами. Разберем подробнее самый популярный процесс быстрого прототипирования – стереолитографию. Данный процесс основам на избирательном отверждении фоточувствительного полимера (пластика). Исследования в этом направлении начались еще в конце 1970'х гг., а в 1987 г. фирма 3D Systems продемонстрировала первую промышленную установку для стереолитографии, называемую SLA'1. Входные геометрические данные для всех процессов быстрого прототипирования готовятся в мозаичном представлении, независимом от любой системы твердотельного моделирования (чаще всего в виде STL'файлов, структуру которых мы разобрали в одной из предыдущих лекций). Процесс протекает следующим образом:

1) определяется оптимальная ориентация детали в трехмерном пространстве и рассчитываются ее плоские сечения (называемые слоями), перпендикулярные оси z с заданным шагом (называемым толщиной слоя) в соответствии с выбранной ориентацией;

2) моделируются поддерживающие структуры в виде дополнительных частей изготавливаемой трехмерной детали (они также представляются в виде STL'файлов) и рассчитываются их поперечные сечения;

3) затвердевающий на свету фоточувствительный полимер, поддерживаемый в жидком состоянии, наливается в специальную форму, внутри которой установлена платформа, способная перемещаться в вертикальном направлении; начальное положение платформы соответствует растеканию над ней полимера по толщине одного слоя;

4) ультрафиолетовый лазер сканирует слой полимера по форме вычисленного заранее профиля поперечного сечения, обеспечивая его отверждение;

5) платформа вместе с деталью опускается на заданную толщину слоя вниз;

6) шаги (4) и (5) повторяются, пока не будут обработаны все вычисленные поперечные сечения;

7) из контейнера сливается оставшаяся жидкость и извлекается затвердевшая деталь;

8) деталь подвергается окончательному отверждению с помощью ультразвукового излучения в специальном аппарате;

9) производится окончательная доводка детали (удаляются поддерживающие структуры, проводится ручная шлифовка поверхности). Важным моментом подготовки процесса стереолитографии является выбор наилучшей ориентации детали и проектирование для нее поддерживающих структур. Последние представляют собой подпорки – новые части детали, удаляемые на шаге (9). Эти структуры обеспечивают, чтобы деталь, у которой площадь следующего слоя значительно превосходит площадь предыдущего, не деформировалась в процессе изготовления. Кроме того, они нужны для поддержки островков (islands) – топологически изолированных частей слоя.

Наконец, в процессе стереолитографии важно учитывать уменьшение плотности материала при его затвердевании, а значит, увеличивать объем изготавливаемой детали для компенсации ее усадки.