2.11.Моделирование задачи кинематики определение.

Положение каждого звена (жесткого множества геометрических эле' ментов) в трехмерном пространстве описывается шестью или более вещественными параметрами (в зависимости от способа параметризации трансформации – углы Эйлера, экспоненциальная параметризация, кватернионы), дополнительные переменные используются для моделирования управления кинематическими парами. Как пра' вило, одни переменные могут принимать значения внутри некоторого замкнутого интервала (например, от 0 до р), а другие – пробегать всю вещественную прямую. Таким образом, положение механизма полностью описывается вектором из n значений. Соответствующее подпространство Rn в этом случае называется конфигурационным пространством. Для моделирования кинематических аспектов данный вектор заменяется векторфункцией p(t), p: Rn → R, где t пробегает значения от 0 до 1. При этом положение звеньев должно удовлетворять наложенным кинематическим связям, описываемым системой из m уравнений C: Rn → Rm. Положение, описываемое в конфигурационном пространстве точкой p(0), соответствует начальному положению звеньев механизма. Положение p(1) – целевая конфигурация, которую необходимо найти для решения прямой или обратной задачи кинематики. В каждый момент времени должно выполняться тождество C(p(t)) = 0. Целевая конфигурация задается указанием желательных значений для некоторых координат в конфигурационном пространстве: для прямой задачи – требуемых значений переменных управления кинематическими парами, для обратной задачи – требуемых значений переменных, задающих положение нужных звеньев в пространстве. В целях получения натурального решения логично задать целевые значения и для всех остальных переменных – равные их начальным значениям. Тем самым будет гарантировано нахождение минимального решения (самого короткого движения механизма). В этих условиях положение целевой конфигурации в конфигурационном пространстве задается точкой p*. Заметим, что в общем случае C(p*) ≠ 0. Но даже если целевая конфигурация удовлетворяет всем кинематическим связям, для решения задачи кинематики требуется найти траекторию движения механизма p(t).

Дифференциальное уравнение движения Наиболее натуральным способом

моделирования движения механизма является представление его в виде решения дифференциального уравнения. В каждой точке траектории осуществляется линеаризация системы уравнений C(p(t)): C(p(t + dt) = JC(p)pdt, где JC(p) – матрица Якоби (частных производных) системы уравнений C, вычисленная в точке p. В предположении C(p(t)) ≡ 0 для всех t получаем JC(p)p = 0, то есть . Предположим, M – ортонормированный базис Ker JC(p). Тогда линейный оператор проектирования на это подпространство будет иметь вид MMT, а дифференциальное уравнение кинематики запишется как то есть вектор скорости движения совпадает с проекцией целевой конфигурации на ядро матрицы Якоби. Тем самым обеспечивается движение, локально не нарушающее кинематические ограничения и в то же время направленное на достижение целевой конфигурации.