Решения из сборника Кузнецова Л. А / II. Дифференцирование / 3 вариант / Дифференцирование вар 3

9.3.

y'= 1/2*√(2+x-x²) – (2x-1)(1-2x) + 54 = 9 _

8√(2+x-x²) 24√(9-(2x-1)²) 4√(2+x-x²)

8.3.

y'= 8sin4xcos4xcos8x+4(1-cos8x)sin8x = 2sin16x+4sin8x-2sin16x = tg8x_

4cos² 8x 4cos² 8x cos8x

7.3.

y'= 1 _ 2/√x = 2+√x-2 = 1 .

√x 2+√x √x(2+√x) 2+√x

6.3.

y' = 1 * 1 * 2e^x = e^x .

2 1 + (e^x-3)² 4 e^2x-6e^x+10

4

5.3.

y'= (4x³-16x)(x²-4)-(x⁴-8x²)2x = 4x⁵-16x³-16x³+64x-2x⁵+16x³ =

2(x²-4)² 2(x²-4)²

=2x⁵-16x³+64x =x(x²-4)²+16x = x+ 16x² .

2(x²-4)² (x²-4)² (x²-4)²

4.3.

x₀= 1

∆x= 0,98-1= -0,02

f(x₀)= 1/2*(1+√4)=3/2

f'= 1/2-х/(2√(5-х²))

f'(x₀)= 1/2-1/4=1/4

f(x)= 3/2-0,02/4= 1,495

3.3.

dy= dx/√(1+2x)-((1+1/√(2x+1))/(x+√(1+2x))))dx= dx/√(1+2x)-((√(2x+1)+1)/(√(2x+1)*(x+√(2x+1))))dx= ((x+√(2x+1)- √(2x+1)-1)/( √(2x+1)*(x+√(2x+1))))dx= ((x-1)/(x+√(2x+1)))dx

20.3.

y'= -10e^-2x+e^x/3

-10e^-2x+e^x/3+10e^-2x+2e^x/3=e^x

e^x=e^x

Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1).

2.3.

Уравнение нормали: .

y₀= -1-(-1)³=0

y'=1-3х²

y₀'= 1-3*(-1)²=-2

Уравнение нормали имеет вид:

у=1/2(х+1)

у=1/2х+1/2

19.3.

x'= e^tcost-e^tsint= e^t(cost-sint)

y'= e^tsint+e^tcost= e^t(sint+cost)

y''_xx= e^t(sint+cost) = sint+cost

e^2t(cost-sint)² e^t(cost-sint)²

18.3.

y'= cosx²-2x²sinx²

y''= -2xsinx²-4xsinx²-4x³cosx² = -6xsinx² – 4x³cosx²

y'''= -6sinx²-12x²cosx²-12x²cosx²+8x⁴sinx² = 8x⁴sinx²-6sinx²-24x²cosx²

17.3.

y'= 7/5*⁵√e^7x-1

y''= 49/25*⁵√e^7x-1

y'''= 343/125*⁵√e^7x-1

y⁽ⁿ⁾= (7/5)ⁿ*⁵√e^7x-1

x₀= a(π/3-√3/2)

y₀= a/2

x'= a(1-cost)

y'= asint

y'_x= sint/(1-cost)

y'_x0= √3

Касательная

y-a/2= √3(x-a(π/3-√3/2))

y-√3x-2a+πa/√3=0

Нормаль

y-a/2= -1/√3(x-a(π/3-√3/2))

y+x/√3-πa/3√3=0

15.3.

x'= 1-t _

√(2t-t²)

y'= 2 _

3 ³√(1-t)⁵

y'_x= 2√(2t-t²) = 2√(2t-t²) _

3 ³√(1-t)⁵(1-t) 3 ³√(1-t)²(1-t)²

13.3.

y'= (6x²+5)√(x²+1)+2x⁴+5x²+3+3x/√(x²+1) =

√(x²+1) x+√(x²+1)

= 8(x²+1)²

√(x²+1)

12.3.

y'= 2 + 2e^4x + 2e^-2xarcsine^2x – 2e^2xe^-2x =

√(1-e^4x)(1+√(1-e^4x)) √(1-e^4x)

= 2e^-2xarcsine^2x

11.3.

lny= 5e^xlnsinx

y'= (sinx)^{5e^x}(5e^xlnsinx+5e^xctgx)

10.3.

1-√(thx) + 1+√(thx) _

y'= 1/2* 1-√(thx) * 2√(thx)ch²x 2√(thx)ch²x _ 1 =

1+√(thx) (1-√(thx))² 2√(thx)ch²x

= √thx _

(1-th²x)(ch²x)