6.3.3. Влияние суточного параллакса на экваториальные координаты

Для вывода формул, выражающих изменение экваториальных координат  ,   звезды из-за суточного параллакса, используем общие формулы (6.84). Так как изменение зенитного расстояния равно

 - радиус Земли,   - расстояние до небесного тела, то параметр   в уравнениях (6.84) равен  . Апексом движения при перемещении наблюдателя в геоцентр, как видно из рис. 6.16, является геоцентрический зенит наблюдателя. Параллактическое смещение приводит к смещению звезды от апекса, поэтому параметр   положителен. Геоцентрический зенит находится в верхней кульминации, то есть его прямое восхождение равно звездному времени  , а склонение равно геоцентрической широте места:

Подставляя эти значения в уравнения (6.84), получаем, учитывая, что часовой угол равен  :

Формулы справедливы до первого порядка малости  . Поэтому при вычислении координат Луны или космических аппаратов должны использоваться строгие формулы. Из формулы   легко найти экваториальные координаты, например, Луны  ,  , исправленные за горизонтальный параллакс  . Если компоненты векторов  ,  ,   равны

то, решая систему уравнений

относительно  ,  ,  , можно найти исправленные за параллакс координаты Луны.

6.3.4. Собственное движение звезд

Рассмотренные эффекты: рефракция, аберрация, параллактическое смещение приводят к кажущемуся изменению координат звезд из-за преломления света в атмосфере или из-за движения наблюдателя. В действительности звезды помимо кажущегося движения обладают собственным движением. Собственное движение каждой звезды включает в себя движение звезды вокруг центра Галактики, а также смещение, обусловленное перемещением солнечной системы относительно звезд.

Собственное движение обозначается буквой   и имеет две составляющие: одна направлена вдоль луча зрения, а вторая лежит в плоскости, перпендикулярной лучу зрения, то есть в картинной плоскости.

Рассмотрим сначала стандартную модель движения звезды, в которой предполагается, что звезда движется в пространстве с постоянной скоростью  .

Пусть барицентрические координаты звезды   на эпоху   равны  ,  . Единичный вектор   в направлении на звезду имеет координаты:

(6.117)

Допустим, что требуется вычислить направление вектора   (т.е. координаты звезды  ,  ) на произвольную эпоху . Если направление вектора   вычисляется относительно барицентра  , то   обозначим как  , если относительно наблюдателя  , то как  . Векторы   и   являются единичными векторами. Разница между направлениями   и  , как мы уже знаем, равна параллаксу звезды.

Из рис. 6.17 получим для стандартной модели движения:

(6.118)

где  ;   - тригонометрический параллакс звезды.

80mm

Рис. 6.17. Собственное движение звезды

Тогда

Угловые скобки обозначают нормирование вектора. Это выражение нельзя использовать, так как параллакс, являющийся малой величиной появляется в знаменателе. Поэтому перепишем (6.118) в следующем виде:

и нормируем:

(6.119)

По определению, собственное движение звезды равно производной единичного вектора   по времени. Рассмотрим рис. 6.18. Единичный вектор   определяет направление на звезду  . Единичные векторы  ,   определяют картинную плоскость; вектор   касается в точке   параллели и направлен в сторону увеличения прямых восхождений, а вектор   касается в точке   круга склонений и направлен к северному полюсу мира  .

Векторы   и   могут быть определены посредством уравнений:

(6.120)

где   - единичный вектор в направлении  . Имеем:

следовательно

Рис. 6.18. Компоненты собственного движения звезды по прямому восхождению и склонению

Из уравнения (6.120) находим

(6.121)

(6.122)

Определим вектор собственного движения звезды с помощью уравнения (рис. 6.18):

где   - собственное движение по прямому восхождению и склонению, соответственно, измеренные в секундах дуги в год; модуль   равен  .

Учитывая, что собственное движение звезд мало (для самой быстрой звезды - звезды Барнарда   в год), в первом приближении перевод координат с одной эпохи на другую можно осуществить при помощи линейных уравнений:

(6.123)

В этих уравнениях координаты  ,   звезды соответствуют эпохе  .

Для вывода более точных уравнений запишем скорость   звезды в виде:

(6.124)

где   - лучевая скорость звезды, которая считается положительной при удалении ее от наблюдателя. Тогда уравнение (6.119) примет вид:

(6.125)

или

(6.126)

причем лучевая скорость   измеряется в а.е./год,   - в годах.

Преобразование координат звезды для наблюдателя, находящегося на Земле, выполняется с учетом следующих формул. Единичный вектор  , определяющий направление на звезду, равен :

(6.127)

где  ,   - радиус-вектор наблюдателя относительно барицентра (рис. 6.19).

80mm

Рис. 6.19. Собственное движение звезды в топоцентрической системе координат

При обработке наблюдений со спутника HIPPARCOS различия между топоцентрическим и геоцентрическим положением звезды не делалось. Однако при достижении микросекундной точности наблюдений, как это планируется в проектах GAIA, FAME и других, необходимо уже будет учитывать суточный параллакс ближайших звезд. В самом деле при расстоянии до звезды   парсек суточный параллакс будет равняться   мкс дуги. При наблюдении с космического аппарата, находящегося на геостационарной орбите, суточный параллакс будет уже составлять   мкс дуги, что сравнимо с планируемой точностью наблюдений.

Используя (6.124) и (6.126), уравнение (6.127) преобразуем к виду:

(6.128)

Если можно пренебречь суточным параллаксом, то   является барицентрическим радиус-вектором геоцентра и вычисляется с помощью эфемерид.

Если требуется найти экваториальные координаты звезды на эпоху  , то для этого надо преобразовать декартовы проекции вектора   в сферические координаты.

На рис. 6.20 в качестве примера показано движение в течение пяти лет двух звезд из каталога HIPPARCOS для наблюдателя, находящегося в геоцентре. Различие в траектории движения связано с различием координат звезд, величин собственного движения и тригонометрического параллакса.

Рис. 6.20. Видимое движение звезд HIP10786 и HIP27989 (  )

Наблюдаемое собственное движение звезды включает кроме движения самой звезды движение Солнца в пространстве. Первая составляющая движения звезды называется пекулярной, а вторая - параллактической. Предположение об этом было впервые высказано в 1742 г. Брадлеем и позже было подтверждено вычислениями Гершеля. Полученные им формулы называются формулами параллактического смещения звезды из-за движения Солнца в пространстве. Если Солнце за год переместилось из точки   в точку   на расстояние   (рис. 6.21), то параллактическое смещения звезды равно

или  , где   - угол между направлением на звезду и апекс   движения Солнца.

Величина   называется средним вековым параллаксом, если под   понимать путь, пройденный Солнцем за год. Если   - скорость Солнца относительно местной группы звезд,  ,  , то , где  - тригонометрический параллакс. Подставляя значения, найдем соотношение между вековым и тригонометрическим параллаксами:

где   выражено в км/с.

Рис. 6.21. Параллактическое смещение звезды из-за движения Солнца в пространстве

Влияние движения Солнца на собственное движение звезды по прямому восхождению и склонению можно легко найти, воспользовавшись формулами (6.113) и (6.114). В этих формулах величины  ,  ,   - барицентрические координаты Земли, или, если барицентр назвать апексом, то  ,  ,   - это координаты Земли относительно апекса.

Значит, изменение координат звезды вследствие движения Солнца выражается такими же формулами, но вместо  ,  ,  надо использовать координаты Солнца относительно апекса   (рис. 6.21). Обозначим их как  . Тогда:

Дифференцируя эти уравнения по времени и ограничиваясь лишь первыми производными, получим, используя (6.123):

(6.129)

Компоненты скорости Солнца относительно апекса можно найти по формулам:

где   км/с,  ,  .