2) Екінші текті интегралды (1.1) нүктесіне жүргізілген түзусызықты

кесінді бойымен және осы нүктелерді қосатын параболасының доғасы бойынша есептеу керек . Бірінші жағдайда (y=x) мынаны аламыз:

.Екінші жағдайда

Қос интегралдан қайталанғанға ауысу

Қос және қайталанған интегралдардың теңдігі туралы теореманы құрайық.

Теорема 7. Функция тіктөртбұрыш _{, -де интегралданатын болсын. Сол сияқты бір айнымалылы у-тің функциясының ке-келген бекітілген мәні үшін, кесіндісінде у бойынша интегралданады және . Сонда мына формуланың орны бар:}

яғни қос интеграл қайталанған интегралға тең. Дәлелдеуі.

Тіктөртбұрыш Р-ның кез-келген T=Tp бөлінуі үшін.

теңсіздігін аламыз, мұндағы және мен k=1, …,m;

l=1, …,n шамаларының дағдылы мағынасы бар.

Бекітілген кезінде бұл теңдікті -ден -ге дейін у бойынша интегралдаймыз. Сонда

Бұл теңсіздікті l бойынша қарстырамыз.

Соңғы теңсіздікті -ға көбейтіп және оны к бойынша қосып, мынаны аламыз:

Мұндағы V(x)-I1 кесіндісінің Т бөлінуінің белгісі. Одан басқа

Функция _{Р-да интегралданатын болғандықан, онда кез-келген саны үшін, мынандай саны табылады да, шартымен әрбір Т бөліну үшін , болады. Бөліну бөліну жұбынан құрылған: T(x)-Ox осі бойынша, T(y)- Оу осі бойынша. Бөліну T(x) ретінде шартымен кез-келген бөлінуді алуға болады. Бөліну T(x) –тың кез-келген белгісін аламыз. I1 кесіндісінің V=V(x) ұсақталған бөлінуін аламыз.}

_{А және сандарының екеуі де ұзындығы -ға тең бір кесіндіде жатады және . Бұл теңсіздік шартымен кез-келген ұсақталған бөліну үшін дұрыс. Олай болса, мына теңдіктің орны бар:}

_{Дәлелденді.}

_{Кез-келген өлшенген D жиыны бойынша интегралдау жағдайы қарастырылғаннан айырмашылығы аз. Тіктөртбұрыш Р D-ны қамтитын болсын. Сонда анықтама бойынша}

_{болады, мұндағы функциясы D жиынында g функциясымен сәйкес және D-ның сыртында , үшін у нүктелерінің жиынын E(x) арқылы белгілейміз. E(x) жиыны кесінділерінің шектеулі санынан тұрады. Сонда егер , мұндағы}

_{Формуласының орны бар және ол теорема 7-нің тұжырымын жалпылайды.}

Қос интегралдың негізгі қасиеттері

-Жордан бойынша өлшенетін жиын және , , функциялары қарстырылатын жиындағы Риман бойынша интегралданады. Онда келесі қасиеттер орынды болады.

1. Мына теңдіктер дұрыс:

a)

б) , (сызықтық қасиеті).

2) g₁ және g₂ функциялары D-да интегралданатын болсын, онда g₁g₂ D-да интегралданады.

3) D-да ≤ теңсіздіктері дұрыс болсын. Бұл жағдайда:

a) ≤ (монотонды қасиеті)

б) D-да сондай-ақ интегралданатын болсын. Онда ≤

в) , болсын. Онда мынадай m<c<M, c саны табылып,

(орта туралы теорема)

4) .

Бұл тұжырым Жордан өлшемінің және жалпыланған қос интеграл анықтамалаының эквиваленттілігінен шығады.

5) Егер болса, онда D- да шектелген кез-келген функциясы үшін

Дәлелденуі: Функция D жиынында шектелген болғандықтан, онда мынадай M>0 саны табылады да, барлық нүктелері үшін теңсіздігі орындалаы. 3), 1) және 4) қасиеттерден мынаны аламыз:

. Дәлелденді.

6) Облыстар D₁ және D₂-нің ортақ ішкі нүктелері жоқ болсын. Онда (аддитивтілік қасиеті)

Дәлелденуі: Стандартты тіктөртбұрыш D₁ және D₂ қамтитын болсын. Онда анықтама бойынша

Мұндағы:

Бұдан және интегралдың сызықтық қасиетінен мынаны аламыз:

Дәлелденді.

7) Егер _{және функцияларының мәндері D1 жиынында ғана айырмашылығы болса, әрі онда}

_{Дәлелденуі. Шындығында да,}