Қисықсызықты интегралдың қасиеттері
тұрақты
шама болсын.Онда
Шынында
да, кез келген T бөлінуі үшін болғандықтан
шама
болса, онда
Бұдан
болатыны шығады.
Теорема 27.( Риман интегралы арқылы Қисықсызықты интегралдың мәнін есептеу).
g(x,y) функциясы L-де үзіліссіз болсын.Онда қисықсызықты интегралдар табылады және сәйкесінше
тең.Дәлелденді.
Алдымен
интегралын қарастырамыз.
интегралы
үшін
интегралдық қосынды ,қисықсызықты
интегралдың
интегралдық қосындысынан
-
ның орнына онда кейбір
кезінде
шамасының
тұруымен ерекшеленеді, яғни
нүктесінде
алынған және t айнымаланың
өсімшесіне
жауап беретін қисықтың доға ұзындығының
дифференциалы.Ары қарай,Стильтес
интегралының анықтамасына жүгінуге
болады:
мұндағы
және
сонымен бірге интегралдардың теңдігін
дәлелдеуді аяқтауға болар еді, бірақ
біз осы фактының тікелей дәлелдеуін
береміз.[a,b] кесіндісіндегі
туындысының үзіліссіздігіне байланысты
онда оның бірқалыпты үзіліссіздігін
аламыз.Сонда кез келген
нүктелері
үшін
аламыз,әрі
Бұдан
g(x,y)
функциясы L компактысында үзіліссіз
болғандықтан,ол онда шектелген,яғни
мынадай
табылады
да ,кез келген
үшін
болады.
интегралдық
қосындысын түрлендіріеміз .Мынаны
аламыз:
Мұндағы
.
кезде
болғандықтан,онда бұл
және
бірмезетте
жинақталатынын және бір және шегі
болатынын білдіреді.Дәлелденді.
Теорема 27. Қисықсызықты интегралдардың мәнін есептеудің әмбебап әдісін береді.Осы теореманың салдарынан қисықсызықты интегралдардың Риман интегралға жай көшуінен алынады.
Салдар 1.Келесі теңдік дұрыс:
мұндағы
L қисығының (x,y) нүктесіндегі жанама
векторы ;
және
-
Ox және Oy координат остері бойынша
бағытталған ,бірлік орттар.
Салдар
2.Егер кез келген
нүктесі
үшін
теңсіздігі дұрыс болса,онда
аламыз.
Салдар
3.
теңсіздігі
орындалады.
Салдар
4.Егер g функциясы L қисығында үзіліссіз
болса,онда мынадай
нүктесі
табылады да,
болады,
мұндағы
-
L қисығының ұзындығы.Бірінші және екінше
текті интегралдардың мәндері параметрлеуді
таңдаудан тәуелді емес , өйткені одан
оларды анықтаудың интегралдық қосындысынан
тәуелді емес.Дербес жағдайда ,
интегралы А және B нүктесінің қайсысы
басы,ал қайсысы L қисығының соңы екендігіне
тәуелді емес (бұл жағдайда параметрлеуді
,мысалы ,
қатысымен анықтауға болады),Сонымен
бірге ,
теңдігінің орны бар ,яғни интегралдың
мәні L қисығын айналып өту бет бағытын
таңдаудан тәуелді.
L қисығының екі параметрлеуін қарастырамыз:
және –
бұл [а₁
, b₁]
кесіндісінің [а , b] кесіндісінде тегіс
бейнелеуі болсын.
Онда ,
аламыз.
туындысының [a,b] кесіндісінің барлық
жерінде бір және тек сол ғана таңбаға
ие болатынын , атап өтейік . Қарсы жағдайда
, Вейерштрасс теоремасы бойынша мынадай
нүктесі табылады да ,
болады . Бірақ , онда
және L қисығының ерекше нүктесі бар ,
яғни ол ерекшеленген болады , ол негізінде
ол бұлай емес .
бейнелеуі
кезінде [a₁
,b₁]
кесіндісінің шектік нүктелері ,
кезінде
[a ,b] кесіндісінің шектік нүктелеріне
көшетін болғандықтан ,
.
Шынында да , Лагранж теоремасынан кейбір
кезінде
аламыз
. Олай болса ,
,
ал бұл
,
болатынын білдіреді . Ары қарай Теорема
27 және Риман интегралындағы айнымалыны
алмастыру туралы теореманы пайдаланамыз
. Келесі теңдіктер тізбесін аламыз :
жағдайында
аламыз . Алдыңғы пайымдауды қайталап
, бұл жағдайда бір параметрлеуден басқа
параметрлеуге көшу кезінде келесі
теңдіктің дұрыстығын аламыз:
.
Өлшемділігі
екіден жоғары кеңістіктегі қисықсызықты
интеграл үшін ұқсас қасиеттердің орны
бар . Мысалы , үшөлшемді жағдайда
мұндағы
Мысал .
1)Эллипс бойынша
,
функциясынан I-текті
интегралдарды есептеу керек .
.