Грин формуласы

Екінші текті интегралдың аддитивтілігіне байланысты кез келген және қисықтары үшін қисығының еселі нүктелері болмаған жағдайда , мынаны аламыз: .

Осы формула бойынша А және С нүктелері беттескен жағдайда L қисығы бойынша интеграл анықталады .Бұл жағдайда қисықтарының бірігуі тұйықталған қисық деп аталады .

Анықтама 28.Егер

1) ;

2) және - шеттері беттесетін бөлікті-тегіс қисықтар;

3) және қисықтарының басқа жалпы нүктесі болмасада , онда қисық , тұйық бөлікті – тегіс қисық (еселі нүктелерсіз) деп аталады . Егер қисығында айналып өту бағыты берілсе , яғни бастапқы А нүктесі және соңғы В нүктесі берілсе ,және егер қисығында бастапқы нүкте ретінде В , ал соңғысы ретінде А нүктесін алсақ , онда L қисығында кез келген үш әртүрлі нүктелері үшін әрқашанда келесі нүктелермен жүру ретінің немесе біреуінің орны бар мағынасындағы айналып өту бағыты беріледі . Сондықтан кез келген тұйық L қисықта дәл екі айналып өту бағыты болады , оның бірін әрине оң , ал екіншісін теріс деп есептеу керек .

Сезгеніміздей , сонымен дифференциалдық форманың J интегралы үшін оң бағытта алынған , тұйық L қисығы бойынша мынадай белгілеу қолданылады .

Тұйық қисықты айналып өтудің оң бағытын қалай таңдауға болатынын анықтайық.Алдымен h шеңбердің маңызды мысалын қарастырамыз. Шеңберді айналып өтудің оң бағыты ретінде “сағат тіліне қарсы айналу бағыты” алынады . Ол былай анықталады . Шеңберді жоғарғы жарты шеңбер және төменгі жарты шеңбер -ге бөлеміз . Жоғарғы жарты шеңбердің санақ басы ретінде (1,0) координатасы мен А нүктесін аламыз және В нүктесін соңғы нүктесі деп есептейміз . Төменгі жарты шеңбер -нің бастапқы нүктесі ретінде В аламыз , ал соңғы нүктесі деп А нүктесін есептейміз . Шеңбер L-ге онда А нүктесінде кез келген еркін алынған жанама векторды көрсетіп , бірмәнді айналып өту бағытын беруге болады . кеңістігінің хОу жазықтығында L шеңберді қарастырамыз . Оның әрбір нүктесінде хОу жазықтығында жататын шеңберге жүргізілген сыртқы нормалдың векторы n̅ , оған жүргізілген жанама вектор берілген болсын. Егерде Oz осі бойынша бағытталған е̅₃ орты векторлық көбейтіндімен беттессе , онда вектор шеңбер L-дің айналып өту бағытын береді деп айтамыз . Шеңбердің осы қасиетін жалпы қисық L-дің айналып өтудің оң бағытының анықтамасы негізінде аламыз .

Анықтама 29 . хОу жазықтығындағы дөңес Д жиынының шекарасы болатын еселі нүктелерсіз тұйық бөлікті-тегіс L қисығы болсын . Оz осі бойынша бағытталған орт болсын . L қисықтың әрбір нүктесіне жанама r̅ вектормен сыртқы нормалдың n̅ векторын береміз . Егер е̅₃ векторы векторлық көбейтіндісімен беттессе , онда L қисығында айналып өтудің оң бағыты берілген деп айтамыз . Мақсатымыз ,D облысының шекарасы болатын тұйық қисығы бойынша қисықсызықты интегралмен осы облыс бойынша қос интеграл арасындағы байланысты тағайындайтын Грин формуласын дәлелдейміз.Қарапайымдылық үшін дөңес D облысы жағдайын қарастырамыз.

Теорема 28.(Грин формуласы)

D дөңес ,Жордан бойынша өлшемді,компакт,тұйық ерекшеленбеген бөлікті-тегіс қисықтың шекарасы болсын.Сол сияқты және функциялары D-да үзіліссіз және сонда үзіліссіз дербес және туындысы бар болсын.Онда келесі формула дұрыс:

мұндағы L қисығы оң бағытта айналып өтеді.Дәлелдеуі.Тек теңдігін дәлелдеу керек.Осыған ұқсас теңдігі дедәлелденеді.Кесінді [a,b] Ox осіндегі D облысының проекциясы болсын.Нүктелер (а,0) және (в,0)арқылы вертикал x= ажәне x=b түзулерін жүргіземіз.D жи ын ының дөңестігіне қарай оның шекарасы төрт бөлікке бөлінеді:x = a және x=bтүзулерінде жататын және кесінділері (олардың әрқайсысы тек,бір нүктеден тұруы мүмкін және осы қисықтардың арасындағы жолақта жататын және қисықтары. және қисықтарында ч шамасы тұрақты,сондықтан .Кез келген түзуі кезінде (D-ның дөңестігіне қарай) және қисықтарының әрқайсысын қатаң түрде бір нүктеде қиып өтеді.Оларды тиісінше және арқылы белгілейміз,яғни қисығы _{функциясының графигі ,ал қисығы функциясының графигі болады.}

_{Қисық L-дің бөліктік тегістігінен және функцияларының бөлікті – тегістігі шығады.Қисықсызықты интегралды Риман интегралы арқылы өрнектелуі туралы теоремадан мынаны аламыз:}

Бұдан

шығады.D - да функциясы үзіліссіз болғандықтан ,Ньютон – Лейбниц теоремасы бойынша:

аламыз.Демек, қарай, формуласы дұрыс.

Грин формуласы интегралының аддитивтілігіне қарай дөңес облыстардың шектеулі бірігуі болатын облыстар үшін дұрыс екенін ескереміз.

Мысал.

1)Грин формуласына сәйкес D облысының ауданы қисықсызықты интеграл арқылы келесі түрде өрнектеледі:

2) екі жазық облыстың тегіс өзара бірмәнді бейнелеуі болсын.Сондай – ақ бейнелеуінің якобианы облысында таңьасын өзгертпейтін және болсын.Сонымен бірге, -де үзіліссіз болсын.Сонда (1) мысалдың формуласынан шығарып,D облысының өлшемді есептеуін жүргіземіз: .

қисығының түріндегі параметрлеуі берілген болсын.Сонда

Қисығының сәйкес параметрлеуі теңдеуімен беріледі.

Қисықсызықты интегралдың Риман интегралы арқылы өрнектеуінен мынаны аламыз:

Бірақ соңғы интегралды қисығы бойынша интеграл ретінде беруге болады:яғни

мұндағы егер және қисықтарының айналып өту бағыты бірдей болса,ал қарсы жағдайда .Соңғы интегралды түрлендіріп ,Грин формуласын қолданып,мынаны аламыз:

Якобиан J таңбасын өзгертпейтін және шамасы теріс емес болғандықтан,онда .Сондықтан , Сонымен жазық облыстың ауданын қисықсызықты координатада есептеу үшін формула алынды.

Дарбу қосындысы

Дөңес жиындағы тегіс бейнелеудің қасиеті

Еселі интегралдарда айнымалыны алмастыруда тегіс бейнелеудің кейбір қасиеттері қажет болады. Функция компактылы өлшемді облысында анықталған және да интегралданатын болсын. мына интегралды білдіретін болсын

.

және жиындарының ішкі нүктелерінің арасындағы өзара бірмәнді сәйкестікті тағайындайтын, жиынындағы өлшемді компактының бейнелеуін қарастырамыз. -де анықталған функцияның жүйесімен берілген бейнелеуді ескереміз. Бұл функцияның әрқайсысы -де барлық үзіліссіз дербес туындылы болады деп есептейік.

Ескерту. 1) Функция -де анықталған қисықсызықты координата деп аталады.

2) Бейнелеу -дің өзара бірмәнділік шарты: облысының ішкі нүктелері үшін , облысының әрбір нүктесінде осы бейнелеудің якобиандары нөлден өзгеше болғанда ғана қанағаттандырылады(кері бейнелеу туралы теорема). Облыстағы тегіс бейнелеу туралы тұжырымды құрамыз және дәлелдейміз.

Теорема 12. дөңес және тұйық жиын және жиынында тегіс функция болсын. Сондай-ақ және нүктелері -ге тиісті болсын. Онда мынадай нүктесі табылады да, болады.

Дәлелдеуі. Бір айнымалылы функциясын қарастырамыз:

Мұнда кесіндісіндегі тегіс функция.

Олай болса, оған шектеулі өсімшенің Лагранж формуласын қолдануға болады. Онда мынадай , саны табылады да, болады. Функция күрделі функция -дан және күрделі функцияны дифференциалдау ережесі бойынша мынаны аламыз:

мұнда . Дәлелденді.

Теорема 13. - D облысындағы D₀ дөңес компактың тегіс бейнелеуге болады. Онда мынадай саны табылады да, кез-келген нүктелері үшін

теңсіздігі дұрыс болады. Мұндағы -евклидтік метрикадағы (өлшемдегі) вектор ұзындығы.

Дәлелденуі. Теорема 12-ден кезінде мынаны аламыз.

Мұндағы және интервалының кейбір саны. Коши теңсіздігін қолданып, мынаны аламыз:

.

компакт және функциясы -де үзіліссіз болғандықтан, ол бұл компактіде кейбір тұрақтысымен шектеледі. Осыны және сандық теңсіздікті қолданып, аламыз, мұндағы . Дәлелденді.

Бейнелеу -дің Якоби матрицасы арқылы белгілейік: нүктесінде .

Анықтама 17. Вектор -тің өсімшесінің сызықтық бейнелеуі деп бейнелеудің дифференциалын айтады және символымен белгіленеді. - вектор. Теорема 14. дөңес компактінің тегіс бейнелеуі және болсын. Онда келесі бірқалыпты шектің орны бар кезінде

. Басқаша айтқанда, мынадай кезінде сандық функция табылады да, барлық үшін теңсіздігі дұрыс болады.

Дәләлдеуі: және векторларының -шы координатасын қарастырамыз. Анықтама бойынша , ал Теорема 12 бойынша кейбір кезінде мынаны аламыз: . Олай болса, . Енді бейнелеуінің дербес туындысы компактіде үзіліссіз болғандықтан, онда -де оның бірқалыпты үзіліссіздігі ретінде мынаны аламыз:

, мұндағы тек қана - ке тәуелді және кезінде . Бұдан Коши теңсіздігің қолданып мынаны аламыз: , олай болса, , әрі кезінде .

Дәлелденді.

Еселі интегралдарға айнымалыны ауыстыру формуласы

Жордан бойынша өлшемді Риманның қос интегралы

Анықтама 15: Жордан бойынша өлшенетін, шектелген D облысының функциясын Риманның жалпыланған қос интегралы деп I санын айтады, егер кез-келген үшін мынадай саны табылып, әрбір бөлінуі үшін шартымен теңсіздігі орындалса.

Жалпыланған қос интегралды база бойынша шек ретінде қарастыруға болады, Бұл базаны символымен белгілейміз. Ол шартымен анықталған жалғауынан құрылады. Шындығында да, функциясы жиынында анықталған, ал оның база бойынша шегі және ол D обылысы бойынша жалпыланған қос интеграл болады.

, , болсын. Онда Дарбудың жоғарғы және төменгі қосындысын келесі өрнекке сәйкес анықтаймыз:

және омега қосындысын өрнегімен анықтаймыз.

Кейбір P тіктөртбұрышы үшін болсын.

деп ұйғарып , барлық Р тіктөртбұрышын да функциясын анықтаймыз.

Анықтама 16 : Егер функциясы Р тіктөртбұрышында Риман бойынша интегралданатын болса, онда функциясының Р бойынша J қос интегралы функциясының D жиыны бойынша Риман қос интегралы деп аталады, яғни анықтама бойынша болады.

Теорема 6: Жалпыланған қос I интегралының бар болуы үшін, J интегралының бар болуы қажетті және жеткілікті, сонымен бәрге онда I=J.

Дәлелдеуі:

1. Тіктөртбұрыш P және J интегралы бар болсын. Онда интегралыдану критерийіне байланысты , кез-келген үшін, мынадай Т бөліну табылады да, . Т бөліну тіктөртбұрыштарынан тұрады. деп аламыз. Онда D жиынының бөлінуін аламыз. жиындағы функциясының тербелісі -дағы оның тербеліснен аспайды, сондықтан аламыз, яғни интегралдану киртерийіне байланысты жалпыланған I интегралы табылады. Осыған ұқсас, теңсіздігін алуға болады, сондықтан . Дарбудың төменгі қосындысы үшін ұқсас теңсіздіктерден аламыз. Осы теңсіздіктерден, I=J шығады. Қажеттілігі дәлелденді.

2. Шектелген өлшемді D жиыны бойынша жалпыланған I интегралы бар болсын. D-ны құрайтын, Р тіктөртбұрышы бойынша функциясының I интегралының бар болатынын дәлелдеу керек. Интегралдану критерийінен, мынадай табылады да, аламыз.

Әрбір r=1,.. t үшін, жиыны өлшемді, сондықтан . Олай болса, тіктөртбұрышынан құрылған, мынадай қарапайым F фигурасы табыладыда, кем дегенде бір , r=1,…t шекарасының нүктесін құрайтын, барлық қосынды ауданы -нен аспайды, яғни .

F шекараның түзу сызықты кесіндісін Р тіктөртбұрышының қабырғасымен қиылысқанша созамыз. Осы тіктөртбұрыштың Т бөлінуін аламыз. P/F- қа жататын тіктөртбұрыштардың омега-қосыдысына кірісі, -нан аспайды. F-те жататын сондай тіктөртбұрыштардың -ға кірісі -нан аспайды. Олай болса,

.

Бұдан тіктөртбұрыш бойынша функцияның интегралдану критерийіне байланысты, J интегралының бар болатыны шығады. Осыған ұқсас, Дарбудың жоғарғы қосындысы үшін талқылап, мына теңсіздікті аламыз: Олай болса, Еркін түрде оң санын таңдауымызға байланысты бұдан -ді аламыз. Дарбудың төменгі қосындысы үшін бағалаудан қарама-қарсы теңсіздігін аламыз. Сонымен, I=J. Дәлелденді.