Беттің ауданы
Бет
дегеніміз не? Қандай бетті қарастырамыз?Екі
х және у айнымалылы кейбір g(x,y) функциясы
үшін z=g(x,y) теңдеуін қанағаттандыратын
(x,y,z) нүктелерінің жиынын Q бет деп атаймыз
, әрі (x,y) нүктесі xOy жазықтығындағы кейбір
жиынға жатады.Негізінде g(x,y) функциясынан
барлық жерде үзіліссіздік талап
етіледі,тек Жорданның нөлдік мөлшерінің
L жиынынан басқа да болуы мүмкін.xOy
жазықтығындағы Q бетінің проекциясы D
облысы бойынша өлшенетін компакт деп
ұйғарайық . Өлшенетін
жиындарының әрбіріне сәйкес шекарадағы
нүктелерін аламыз.Жазықтықтағы
проекциялар кезінде бұл нүктелерге Q
бетіндегі
нүктелері сәйкес келеді.
бұлар
нүктесінде Q бетіне жүргізілген нормаль
мен Oz осі арасындағы бұрыштар болсын.
нүктесі арқылы өтетін және xOy жазықтығында
өзінің проекциясы болатын D облысы
бар,жанама
жазықтығының бөлігін қарастырамыз."Қабыршақты"
бетті аламыз.Сызықтық алгебрадан
белгілі,оның ауданы
мынаған тең:
Q бетінің ауданы деп
шамасын айтамыз.Беттің теңдеуінің түрі z=g(x,y) болғандықтан , Q бетінің N нүктесіндегі оның нормалін мына түрде беруге болады:
.
Сондықтан,
аламыз .Бұдан
.
Сонымен,соншалықты қатаң емес геометриялық ұйғарымнан үшөлшемді кеңістіктегі беттің ауданының формуласын аламыз.
Анықтама
22.
n-өлшемді
-кеңістігіндегі
Q бет деп мынадай
,
нүктелері
жиынын
,мұндағы
айтамыз.Әрі D облысы шектелген және
Жордан бойынша өлшемді
бейнелеуі
Q жиыны нүктелеріндегі D жиынының ішкі
нүктелерінің өзара бірмәнді бейнелеуі
және
жорданның
нөлдік өлшемі болатын L жиынынан басқаның
бәрінде үзіліссіз.Егер
функциясы үзіліссіз болса,онда
нүктесінде
бейнелеуі
де үзіліссіз дербес туынды бар болса
,онда
бейнелеуін тегіс деп атаймыз.
Ескерту.Q
бетті әртүрлі тәсілмен беруге
болады.Жоғарыда көрсетілген Q беттің
берілуі параметрлік (немесе Q жиынын
параметрлеу ) деп аталады.Параметрлеуді
таңдау да әртүрлі болуы мүмкін .Кез-келген
бекітілген
және
мәндерінде Q-дағы
және
түріндегі қисықтар Q бетінің қисықсызықты
координатасы деп аталады.
нүктесінің
әрбіріне қисықсызықты координатаның
жұбы сәйкес келеді.
Анықтама
23.
Егер оның берілген
бейнелеуі
тегіс болса,онда Q бетін тегіс деп
атаймыз.Егер
бейнелеуінің Якоби матрицасының рангісі
максимал яғни 2-ге тең болса,онда тегіс
бетті ерекшеленбеген деп атаймыз.Өлшемді
анықтауға яғни ерекшеленбеген кеңістіктегі
жиындар ауданы ұғымын анықтауға
ұмытыламыз.Ол үшін алдымен,жиын ауданы
және өлшемі қандай қасиеттерге ие болуы
керек екенін анықтауымыз керек.Өлшемнің
дағдылы қасиеттерінен бөлек
(монотондығы,аддитивтілігі,кеңістіктің
ортогональдық тәуелділігіне қатысты
инварианттылығы,параметрлеудің
тәуелсіздігі)
жағдайында
яғни "жазық" бейнелеу
үшін
формуласының болуы қажет ,мұндағы
бейнелеуінің Якобианы :
.
Ұйғарымның
қарапайымдылығы үшін , жазық D жиыны бұл
тұйық шаршы деп ұйғарамыз.Онда бұл
жағдайында D бейнесінің
өлшемі бұл D шаршысына тең
шаршыларына Т бөліну үшін интегралдың
қосынды
кезіндегі шегі :
,
Мұндағы
бұл
шаршысының сол төменгі төбесі Q фигурасы
ауданының формуласын қорыту кезінде
саны параллелограмның ауданына тең
болатынын көреміз.Онда
бейнелеуін
түріндегі
сызықтық
бейнелеуіне ауыстыру кезінде
шаршысына көшеді,мұндағы
бұл
нүктесіндегі
бейнелеуінің
Якоби матрицасы.Сонымен ,
есептеу кезінде біз
шаршыларына D бөлінуін аламыз,ал содан
соң әрбір
шаршысы үшін
бейнелеуін
сызықты бейнелеуімен алмастырамыз.Мұндай
алмастыру кезінде , бейненің ауданы
неге тең болады? Барлық
жұптары бойынша алынған аудандардың
қосындысы
интегралдық
қосындысын береді.
Сол
нобайды Q бетінің ауданы анықтамасының
негізіне қойсақ және жалпы жағдайда
яғни Д шаршының Т бөлінуін тең
шаршыларымен алу керек.Содан соң ,
бейнелеуін
сызықты бейнелеуіне алмастырсақ
және
өлшемін қосамыз.Сонда
аламыз.
Анықтама
24.
Егер
кезінде
шегі бар болса,онда бұл шекті Q бетінің
ауданы деп атаймыз.Енді
шамасын есептеу және оның
шегін табу ғана қалды.Ол үшін
бейнелеуі кезінде
және
векторлары
,
векторларына
көшеді.Векторлар
және
-ден
құрылған параллелограмның ауданын табу
керек.Ол үшін сызықты алгебраның
формуласын қолданамыз,яғни ол келесіні
тұжырымдайды:
Осы формуланың қарапайым қорытындысын келтірейік.Векторлар және -ден құрылған параллелограмм ауданының формуласының түрі мынадай болады:
.
Осы формуланы түрлендірейік.Сонда :
Олай болса,
.
Сонымен , мынаны аламыз:
Функция
D-да
үзіліссіз,сондықтан
шегі
табылады.Басқаша айтқанда
Соңғы
интегралдың меншікті де,меншіксіз де
болуы мүмкін екенін байқаймыз.Қабырғалары
болатын параллелограмның ауданы :
тең.Бұдан беттің ауданы үшін формуланы аламыз:
Мысалы
1.
Жоғары жарты сфераның
бетінің ауданы 2
-ге
тең.
мұндағы
.Олай
болса,
Полярлық координатаға көшеміз :
2)Екі
өлшемді тордың
ауданы Д облысында
параметрді өзгерту теңдеуімен берілген
Сонда ,
,
Бұдан мынаны аламыз:
Векторлық өрістің дивергенциясы және роторы
Гаусс-Остроградский формуласы
Бұл фомула үш өлшемді кеңістіктегі Грин формуласының аналогы болады.
Т5. (Гаусс-Остоградский формуласы)
1)
жиыны-дөңес, Жордан бойынша өлшемді,
компактылы.
2)V жиының S шекарасы-өзгешеленбеген (ерекше нүктелерсіз) бөліктік – тегіс кеңістік ;
3) V
жиынындағы
тегіс функциялар берілген. Онда мына
формуланың орны бар:
Мұнда
теңдіктің сол бөлігінің интегралы
бетінің сыртқы жағы бойынша алынатын
екінші текті интеграл, ал теңдіктің оң
бөлігі -
жиыны бойынша кәдімгі үш еселі интеграл.
Дәлелдеуі. Грин формуласын дәлелдеу
кезіндегідей,
жағдайын қарастрамыз.
бетін
жазықтығына проекциялап және Д арқылы
бұл проекцияны белгілейміз.
-ның
дөңестігіне байланысты,
осіне параллель және Д-ны өиятын әрбір
түзу кесінді бойынша
-ны
қияды.
болсын, онда осы кесіндінің төменгі
шетінің координаты
,
ал кесіндінің жоғарғы шетінің координаттары
облысының шекарасын білдіретін болсын.
Сонда Д беті үз бөліктік-тегіс бөлікке
бөлінеді.
Мұнда
беті үшін интегралдау оның төменгі жағы
, соңында
бетінің бүйір бөлігін біліретін
беті үшін,
осіне перпендикуляр нормаль жағы бойынша
жүргізіледі және Д-ға қатысы бойынша
сыртқы нормалі болады. Беттік интегралды
Риман қос интегралына келтіру туралы
теорема бойынша мынаны аламыз:
Одан әрі
Бекітілген
кезінде Ньютон-Лейбниц формуласы бойынша
мынаны аламыз:
.
Олай
болса,
Дәлелденді.
Мысал:
1) Т1 ден
денесінің көлемі үшін келесі өрнекті
беті
бойынша беттік интеграл арқылы аламыз:
Мұнда беттік интегралдар беттің сыртқы
жағы бойынша алынады.
беттің сыртқы жағын анықтау үшін оған
беттің нүктесі және дөңес
денесінің
бетіне сыртқы нормаль бағыты ретінде
алсақ , онда берілген нүктенің төбесінен
денесінің басқа нүктелерін қамтымайтын
осы түзудің сәулесінің бағыты арқылы
нормаль түзу жүргізу керек.
2) (Гаусс
интегралы)
бөліктік- тегіс, өзгешеленбеген , Жордан
бойынша өлшемді, компакт бет болсын.
-кейбір
бекітілген нүкте,
-бет
теі айнымалы нүкте ,
-бастапқы
нүктесі және соңғы
нүктесінің радиус векторы
-
нұктесіндегі бетке жүргізілген сыртқы
нормаль болсын. Сонда мынаны аламыз:
Алдымен,
нүктесі жағдайын қарастырамыз.
нүктесінің координатасы
,
ал Р нүктесінің координатасы
болсын. Сонда
нүктесіндегі бетке жүргізілген нормаль
векторы
-ға
тең. Олай болса,
Гаусс-Остоградский формуласын қолданып, мынаны аламыз.
Сонда,
Олай болса,
Егер
нүктесі болса , онда оны түгелімен
-тің ішінде жататын
шарымен қоршаймыз. Осы шардың бетін
арқылы белгілейміз . Алдыңғыға байланысты
мынаны аламыз:
бірақ
теңдіктің орны бар болғандықтан ,
символдық түрде былай жазамыз:
онда,
теңдікке байланысты
мынаны аламыз:
жағдайында G интегралының мәні
жағдайы да қарастырылады.
3)(Грин
формуласы)Гаусс-Остоградский формуласының
тамаша салдары ретінде математикалық
физикада қолданылатын тағы бір грин
формуласын қарастырамыз.
және
-үзіліссіз
екінші дербес туындылары бар тегіс
функциялар болсын. Сондай-ақ
дөңес , Жордан бойынша өлшемді,
шекарасымен компакт бөліктік –тегіс
бағдарланған бет болсын. Одан басқа
Лаплас операторы,
бет
-ға
жүргізілген сыртқы нормальдың бағыты
бойынша туындысы болсын. Сонда келесі
грин формуласы дұрыс:
шынында да , Гаусс-Остоградский формуласы
бойынша мынаны аламыз :
Сонда
А формуласы үшін алынғанды қолданып, мынаны табамыз:
Соңғы
формуладағы
және
функцияларының орындарын ауыстырамыз.
Теңдіктің сол бөлігі осындай ауыстыру
кезінде өзгермейді. Олай болса , оң
бөлікте тұрған өрнектің де мәні
өзгермейді. Ал бұл келесі теңдікті
береді:
, яғни
Соңғы
формуланы грин формуласы деп атайды.
Ол гармоникалық функцияларды зерттеу
кезінде өте пайдалы, яғни
Лаплас теңдеуің қанағаттандыратын
функция.