16.Штейнер теоремасы

Штейнер теоремасы былай тұжырымдалады:Кез-келген оське қатысты I инерция моменті берілген оське параллель және дене инерциясының центрі арқылы өтетін оське қатысты I₀ инерция моменті мен дененің m массасының осьтер арасындағы ара қашықтығының квадратының көбейтіндісіне тең.I=I₀+ma² Штейнер теоремасына сәйкес О^О^ осіне қатысты инерция моменті диск центрі арқылы өтетін полюсті mR² оське қатысты біздің тапқан инерция моментімізге тең болады.(О^О^ және ОО осьтерінің арасындағы қашықтық диск радиусына тең)I=mR²\2+mR³=3\2mR² Сонымен,Штейнер теоремасы кез-келген денеге қатысты инерция моментін есептеп шығару,дене инерциясының центрі арқылы өтетін оське қатысты инерция моментін есептеп шығаруға келіп тұр.Штейнер теоремасын дәлелдеу үшін формасы еркінше алынған денені қарастырайық.Бір-біріне параллель болатын екі ОО және О^О^ осьтерін алайық,олардың біреуі дененің инерция центрі арқылы өтеді.Осы осьтермен хуz және x^y^z^ координата осьтерін байланыстырайық:z осі ОО осімен,ал z^осі О^О^осімен дәл келетіндей таңдап аламыз.Сонымен қатар х және х^ осьтерін бір-біріне дәл келетіндей дененің инерция центрі арқылы өтетіндей етіп қалап аламыз.Сонда М_і элементтер массалары координаталарының арасында мына қатынастар орын алады:Х^=a+x; y^=y а-осьтердің ара қашықтығы М_і-элементар массасының ОО осьтен қашықтығы r²=x_i²+y_i² ал О^О^осьтен қашықтығының квадраты мынаған тең:r²=x_i²+y_i² =(x_i+a)²+y_i² Инерция моментінің өлшемділігі мына теңдік бойынша тағайындалады:|I|=[M][R²]=Ml²

17.Кейбір денелердің инерция моменттері, цилиндр және диск

Айналмалы қозғалыс кезінде қатты денелердің барлық нүктелері шеңбер бойымен қозғалады, олардың центрлері айналу осі деп аталатын бір түзудің бойында жатады. Айналмалы қозғалысты сипаттау үшін кеңістіктегі айналу осінің қалпын және әрбір уақыт мезетіндегі дененің бұрыштық жылдамдығын білу керек. Қатты дененің айналысын қарастырған кезде инерция моменті деген ұғым енгіземіз.

Қатты дененің немесе материалдық нүктенің айналу осіне қатысты инерция моментідеп дененің немесе материалдық нүктенің массасы мен қарастырылып отырған оське дейінгі арақашықтығының квадратының көбейтіндісіне тең физикалық шаманы айтады:

Қатты дененің өзі жеке-жеке материалық нүктелер жиынтығынан тұрады. Сондықтан қатты денені материалық нүктелер жиынтығы ретінде де қарастыруға болады.

Жүйенің (дененің) айналу осіне қатысты инерция моменті деп осы жүйені құрайтын материалдық нүктелердің массаларының қарастырылып отырған оське дейінгі арақашықтықтың квадратының көбейтіндісінің қосындысына тең шаманы айтады:

Массасы бірқалыпты таралған дене үшін бұл сумма барлық көлемі бойынша интегралданады: мұндағы

Мысал: Біртекті тұтас цилиндрдің инерция моментін табайық. Цилиндр биіктігін , ал оның радиусын деп алайық. Цилиндрді кішкене бөліктерге бөлеміз, қалыңдығы тең. Оның ішкі радиусы r, ал сыртқы радиусы тең.

Әрбір кішкене цилиндірдің инерция моменті , мұндағы цилиндрдың барлық нүктесінің осьтен арақашықтығы әрі ескереміз, ал -барлық элементар цилиндрдің массасы.

Қарастырылып отырған элементар цилиндрдің көлемі: ,

егер - материалдың тығыздығы болса,

онда яғни оныңмассасы,ал элементар инерция моменті болады.

Сонда тұтас цилиндрдің инерция моменті:

бұдан -цилиндрдің көлемі,ал оның массасы болады. Сонда цилиндрдің инерция моменті:

Бұдан басқа кейбір денелердің иерция моменттері:

1. Радиусы болатын шардың центрі арқылы өтетін оське қатысты инерция моменті

Егер айналатын қатты дененің ауырлық центрі арқылы өтетін оське айланысты инерция моменті белгілі болса, онда оның кез-келген осы оське параллель осьтен айналғандағы инерция моменті Штейнер теоремасы арқылы анықталады:

• кез-келген оське қатысты инерция моменті – берілген оське параллель және дене инерциясының центрі арқылы өтетін оське қатысты инерция моменті мен дененің массасының осьтер арасындағы арақашықтығының квадратына көбейтіндісінің қосындысына тең: