91. Күш пен потенциалдық энергия арасындағы байланыс

Электростатикалық өрістің күштік сипаттамасы мен кернеуліктің энергетикалық сипаттамасының және потенциалдың арасындағы байланысты табайық.

х-осінің бойымен бір-біріне өте жақын орналасқан бірлік оң зарядты 1-ші нүктеден 2-нүктеге орын ауыстырғанда х₂-х₁=dx, φ₁-φ₂=-d φ істелетін жұмыс Е_хdx тең. Екі өрнекті теңестірсек, мына қатынас шығады:

мұндағы i j k бірлік векторлар, бұдан:

Өрістің кернеулігі теріс таңбамен алынған потенциалдың градиентіне тең. Егер біртекті өрісті қалашаларының арақашықтығы d, потенциалдар айырымы φ₁-φ₂ жазық конденсатор туғызса, электр өрісінің кернеулігі мына формуламен анықталады:

Қандай да бір өткізгіштердің арасында потенциалдар айырымы болса, электр өрісі туындайды. Бұл құбылыс зарядтардың Жерге жіберілуін түсіндіреді. біз өткізгішті заярдсыздандыру мақсатында Жермен қосылған затқа жалғаймыз. Мысалы, су құбырына, Жерге қа,ыл,ан темірқазыққа. Барлық электрлік әсерлер, электр өрісінен пайда болады. Сондықтан оларды қарастырып отырған дене мен қоршаған заттардың арасында кернеу болғанда ғана байқаймыз. Дене мен оны қоршаған заттар Жермен қосылғанда олардың арасындағы кернеулік, яғни электр өрісі жойылатындықтан, барлық электрлік әсерлер тоқтатылады.

Электр өрісіндегі потенциалдары бірдей нүктелерді біріктірсек, потенциалдаоы ьең эквипотенциалды беттерді аламыз. Ол төменде келтірілген теңдеумен көрсетіледі:

φ(x, y, z)=const

Эквипотенциалды беттерді пайдаланып, электр өрісін графикалық түрде кескіндей аламыз. Эквипотенциалды беттер сызбаның жазықтығымен қиылысып, эквипотенциалды сызықтарды береді. Потенциалдардың әртүрлі мәндеріне сәйкес келетін эквипотенциалын сызықатрды сызу арқылы, біз берілген өрісте потенциалдың қалай өзгеретіндігін аламыз. Эквипотенциалдық беттердің барлық Нүктелерінің потенциалдары бірдей болғандықтан, зарядтың беттегі қозғалысы жұмысты қажет етпейді. Сондықтан зарядқа әсер ететін күш әрқашан орын ауыстыруға перпендикуляр.

Бұдан күш сызықтарынның эквипотенциалды беттерге перпендикуляр болатындығы шығады. Аттас заярдталған екі металдан жасалған шарлардың эквипотенциалды және күштік сызықтары

Потенциалды күш пен потенциалдық энергия арасында келесі байланыс болады:

Күш пен потенциалдық энергия электр өрісін сипаттайтын шамалармен келесі түрде байланысады:

       және    

92.Бүкіл әлемдік тартылыс заңы

Бүкіл әлемдік тартылыс заңы, Ньютонның тартылыс заңы — кез келген материялық бөлшектер арасындағы тартылыс күшінің шамасын анықтайтын заң. Ол И. Ньютонның 1666 ж. шыққан “Натурал философияның математикалық негіздері” деген еңбегінде баяндалған. Бұл заң былай тұжырымдалады: кез келген материялық екі бөлшек бір-біріне өздерінің массаларының (m1, m2) көбейтіндісіне тура пропорционал, ал ара қашықтығының квадратына (r2) кері пропорционал күшпен (F) тартылады: , мұндағы G — гравитациялық тұрақты. Гравитациялық тұрақтының (G) сан мәнін 1798 ж. ағылшын ғалымы Г. Кавендиш анықтаған. Қазіргі дерек бойынша G=6,6745(8)Һ Һ10–8см3/гҺс2=6,6745(8)Һ

Һ10–11м3/кгҺс2. Айдың Жерді, планеталардың Күнді айнала қозғалуын зерттеу нәтижесінде И. Ньютон ашқан бұл заң табиғаттағы барлық денелерге және олардың барлық бөліктеріне қолданылады. Б. ә. т. з. аспан денелерінің қозғалысы жайындағы ғылым — аспан механикасының іргетасын қалайды. Осы заңның көмегімен аспан денелерінің қозғалу траекториясы есептелінеді және олардың аспан күмбезіндегі орындары алдын ала анықталады. Уран планетасының осы заңға сәйкес есептелінген орбитадан ауытқуы бойынша 1846 ж. Нептун планетасы ашылды. Плутон планетасы да 1930 ж. осындай тәсілмен анықталды. 19 — 20 ғ-ларда бұл заңды алдымен қос жұлдыздарға, сонан соң шалғай орналасқан галактикаларға да пайдалануға болатындығы белгілі болды. Жалпы салыстырмалық теориясының ашылуы (1916) нәтижесінде тартылыс күшінің табиғаты онан әрі айқындала түсті. Шындығында кез келген дене кеңістікте тартылыс өрісін туғызады. Денелердің арасындағы тартылыс күші осы өріс арқылы беріледі. Өте майда бөлшектерден тұратын микродүниедегі (атом, атом ядросы, элементар бөлшектер, т.б.) құбылыстарда Б. ә. т. з-ның әсері сезілмейді. Өйткені онда күшті, әлсіз және электр магниттік өзара әсерлер (қ. Әлсіз өзара әсер, Күшті өзара әсер, Электр магниттік өзара әсер) тәрізді өрістік әсерлер басым болып келеді.

Табиғаттағы барлық денелер бір-біріне тартылады. Осы тартылыс бағынатын заңды Ньютон анықтап, бүкіл әлемдік тартылыс заңы деп аталған. Осы заң бойынша, екі дененің бір-біріне тартылатын күші осы денелердің массаларына тура пропорционал, ал олардың ара қашықтығының квадратына кері пропорционал болады:

мұндағы, G - гравитациялық тұрақты деп аталатын пропорционалдық коэффициент. Бұл күш бір-біріне әсер ететін денелер арқылы өтетін түзудің бойымен бағытталған. Формула шамасы бойынша бір-біріне тең F₁₂ және F₂₁ күштердің сандық мәнін береді. Cуреттегі өзара әсерлесетін денелер біртекті шарлар болса, m₁ және m₂ – шар массалары, r - олардың центрінің ара қашықтығы. Сонымен, шарлар материялық нүктелер ретінде өзара әсерлеседі , ал олардың массалары шар массаларына тең және олардың центрлерінде орналасқан. Гравитациялық тұрақтының сандық мәні, массалары белгілі денелердің бір-біріне тартылатын күшін өлшеу жолымен анықталған. Осындай өлшеу кезінде көп қиыншылықтар кездеседі, өйткені массалары тікелей өлшенетін денелер үшін тартылыс күштері өте-мөте аз болып шығады. Мысалы, әрқайсысының массасы 100 кг, бір-бірінен қашықтығы 1 метр болатын екі дене бір-біріне шамамен 10^-6 Н, яғни 10^-4 Г күшпен өзара әсер етеді.

Бүкіл әлемдік тартылыс тұрақтысы

Табиғаттағы барлық денелер бір-біріне тартылады. Осы тартылыс бағынатын заңды Ньютон анықтап, бүкіл әлемдік тартылыс заңы деп аталған. Осы заң бойынша, екі дененің бір-біріне тартылатын күші осы денелердің массаларына тура пропорционал, ал олардың ара қашықтығының квадратына кері пропорционал болады: (2.10.1) мұндағы, - гравитациялық тұрақты деп аталатын пропорционалдық коэффициент. Бұл күш бір-біріне әсер ететін денелер арқылы өтетін түзудің бойымен бағытталған.

Формула шамасы бойынша бір-біріне тең F12 және F21 күштердің сандық мәнін береді. 5-суреттегі өзара әсерлесетін денелер біртекті шарлар болса, m1 және m2 – шар массалары, r- олардың центрінің ара қашықтығы. Сонымен, (7-сурет) шарлар материялық нүктелер ретінде өзара әсерлеседі , ал олардың массалары шар массаларына тең және олардың центрлерінде орналасқан. -ның сандық мәні, массалары белгілі денелердің бір-біріне тартылатын күшін өлшеу жолымен анықталған. Осындай өлшеу кезінде көп қиыншылықтар кездеседі, өйткені массалары тікелей өлшенетін денелер үшін тартылыс күштері өте-мөте аз болып шығады. Мысалы, әрқайсысының массасы 100 кг, бір-бірінен қашықтығы 1 метр болатын екі дене бір-біріне шамамен 10-6 Н, яғни 10-4 Г күшпен өзара әсер етеді. -тұрақтысының мәнін анықтау үшін ең алғаш ойдағыдай өлшеу жүргізген ағылшын ғалымы Генри Кавендиш (1798ж.) болды. Ол күшті өлшеу үшін өте сезгіш иірілмелі таразы әдісін қолданды (8-сурет). Жеңіл стерженнің ұштарына бекітілген екі қорғасын шар m (әрқайсысының массасы 729 г) симметриялы орналастырылған М шарларының (әрқайсысының массасы 158 кг) жанына қойылған. Стержень серпімді жіпке асып қойылған, шарлардың бір-біріне тартылу күшін осы жіптің бұралуы арқылы өлшеуге болады. Жіптің жоғарғы

ұшы орнату бүркеншігіне бекітілген, ал осы бүркеншікті бұру арқылы m және М шарларының ара қашықтығын өзгертуге болады. Әр түрлі әдістермен анықталғандардың ішінде -ның анағұрлым нақтылы мәнін мынадай деп есептейді:

Егер (2.10.1)-өрнекке m1, m2 және r-лердің бірге тең мәндерін қойсақ, онда күш -ның өзіне тең болады. Сонымен, әрқайсысын массалары 1 кг, центрлерінің бір-бірінен қашықтығы 1 м болатын екі шар өзара 6,670×10-11Н-ға тең күшпен тартылады. Ал массасы 1 кг шар жерге қандай күшпен тартылады: Жердің массасы 6×1024кг, шардың массасы 1 кг, олардың центрлерінің ара қашықтығы жер радиусына 6,4×106м-ге тең. Жер мен оның үстінде жатқан шардың арасындағы тартылыс күшін есептейміз: Массасы 1 кг денеге әсер ететін ауырлық күшінің мәні тартылыс заңының ғылым мен техника үшін маңызы үлкен. Оның көмегімен Күн жүйесіндегі екі планета – Нептун мен Плутон ашылды, оны ғарыш кемелері және Жер серіктерінің ұшуын, олардың жылдамдықтары мен траекторияларын есептегенде, Айға және планеталарға автомат – станцияларды дәл дәл қондыруды жүзеге асыру үшін пайдаланылады. Дененің салмағы болады, өйткені дене жерге тартылады, Жер атмосферасы кеңістікке таралып кетпейді және барлық дененің бетіне қысым түсіреді, өйткені ауаның молекулалары Жерге тартылады. Тартылыс заңынан массасы m дененің Жерге еркін түсу үдеуін табайық: М - Жер массасы, R - оның радиусы. Rж » 6400 км; (2.10.2) (2.10.3) егер, осы жерден Жердің массасын тапсақ, ол кг болады. Жердің массанын біле отырып, Жердің тығыздығын табуға болады.

егер дене Жер бетінен h биіктікте болса, онда тартылыс күші төмендегі теңдікпен өрнектеледі.

93.Айналмалы қозғалыс динамикасының негізгі теңдеуі. Қатты дененің айналуын кинематикалық сипаттауы үшін бұрыштық шамаларды қолданған тиімді:

-         бұрыштық орын ауыстыруΔφ

-         бұрыштық жылдамдықω

-         бұрыштық үдеуε

 Бұл формулалардағы бұрыштар радианмен өлшенеді. Қатты денені қозғалмайтын ось бойымен айналдырғанда, оның барлық нүктелері бірдей бұрыштық жылдамдықпен және бұрыштық үдеумен қозғалады. Айналудың оң бағыты ретінде сағат жүрісінің кері бағытын алады.

Қаттың дененің массасы Δm элементінің  Δφ орын ауыстырулардың аз шамасында  векторының модулі келесі өрнектен табылады:

Δs = rΔφ,

мұндағы r –  радиус-векторының модулі (1.23.1-сурет). Бұдан сызықтық және бұрыштық жылдамдықтардың модульдерінің арасындағы байланыс:

υ = rω,және сызықтық және бұрыштық үдеулердің арасындағы байланыс:a = a_τ = rε.шығады.

 және в екторлары радиусы r  болатын шеңберге жанама бойымен бағытталады. Денелердің шеңбер бойымен қозғалысы кезінде нормаль және центрге тартқыш үдеу болатынын еске түсіру қажет. Олардың модульдері:

Айналған денені кішкентай Δm_i бөліктерге бөлейік. Айналу осіне дейінгі ара қашықтықты r_i деп, сызықтық жылдамдықтардың модульдерін υ_i арқылы белгілейік. Онда айналған дененің кинетикалық энергиясын:

түрінде жазуға болады.

физикалық шамасы айналған дененің айналу осінің бойында үлестірілуіне тәуелсіз. Ол берілген оське қатысты инерция моменті деп аталады.

Δm → 0 кезде бұл қосынды интегралға айналады. СИ-дегі инерция моментінің өлшем бірлігі – кг м². Сонымен, қозғалмайтын ось бойымен айналған қаттың дененің кинетикалық энергиясын:

түрінде жазуға болады. Бұл формула ілгерілемелі қозғалған дененің кинетикалық энергиясының формуласына ұқсас, бірақ мұнда массаның орнында инерция моменті, ал сызықтық жылдамдықтың орнында – бұрыштық жылдамдық қолданылады.

Айналмалы қозғалыстың динамикасында инерция моменті, ілгерінді қозғалыс динамикасындағы массаның ролін атқарады. Бірақ мұнда бір айырмашылық бар. Егер масса – бұл дененің қозғалысынан тәуелсіз ішкі қасиеті болса, инерция моменті – ол дене қай осьті айналғанына байланысты болады. Әр түрлі айналу осьтері үшін бір дененің инерция моменттері әр түрлі болады.

Көптеген есептерде қатты дененің айналу осі оның массалар центрі арқылы өтетін жағдай қарастырылады. Жүйенің қарапайым жағдайы үшін массалары m₁ и m₂ бөлшектердің x_C, y_C массалар центрінің орналасуы келесі формулалармен анықталады:

В екторлық формада бұл қатынас:

түрінде жазылады. Дәл осы сияқты, массалар центрінің радиус-векторы:

өрнегімен анықталады.

Тұтас дене үшін  үшін жазылған формулада қосындылар интегралдармен ауыстырылады. Біртекті ауырлық өрісінде массалар центрі ауырлық центрімен беттесетінін көру қиын емес. Сондықтан, пішіні күрделі дененің массалар центрін анықтау үшін, денені бірнеше нүктеден өлшеп, аспа бойынша вертикаль сызықтарды белгілеу қажет.

Біртекті ауырлық өрісіндегі ауырлық күшінің тең әсерлі күші дененің массалар центріне салынады. Егер дене массалар центрі арқылы ілінсе, онда ол тепе-теңдіктің бейтарап жағдайында орналасады. Қатты дененің кез келген қозғалысын екі қозғалыстың қосындысы түрінде өрнектеуге болады: жылдамдығы дененің массалар центріне тең ілгерілемелі қозғалыс және массалар центрі арқылы өтетін ось бойындағы қозғалыс. Мысал ретінде – горизонтпен сырғанаусыз домалаған допты келтіруге болады (1.23.4-сурет).  Доптың айналуы кезінде, оның нүктелері сурет жазықтығына параллель жазықтықтарда қозғалады. Мұндай қозғалысты жазық қозғалыс деп атайды. Жазық қозғалыс кезінде қатты дененің кинетикалық энергиясы ілгерілемелі қозғалыстың энергиясы мен массалар центрі арқылы өтетін және дененің барлық нүктелері қозғалатын жазықтықтарға перпендикуляр болатын оське қатысты айналмалы кинетикалық энергиясының қосындысына тең болады.

 мұндағы m – дененің толық массасы , I_C – массалар центрі арқылы өтетін оське қатысты дененің инерция моменті.

Механикада массалар центрінің жылжуы туралы теорема дәлелденеді: сыртқы күштердің әсерінен кез келген дененің немес әсерлескен денелердің жүйесінің массалар центрі бүкіл жүйенің массасы шоғырланған материалдық нүкте сияқты қозғалады.

Осы тұжырымның иллюстрациясы болып 1.23.5-сурет табылады, мұнда дененің ауырлық күштің әсерінен қозғалуы суреттелген. Массалар центрі параболалық траектория бойымен материалдық нүкте сияқты қозғалады, ал басқа нүктелер өзге күрделі траекториялар бойымен қозғалады. Егер қатты дене қозғалмайтын осьтің бойымен айналса, онда оның инерция моментін I массалар центрі арқылы өтетін және біріншісіне параллель болатын оське қатысты I_C инерция моменті арқылы өрнектеуге болады.

Координаттар басы О және массалар центрі С нүктесінде орналасқан XY координаттық жүйені қарастырайық. Айналу осьтерінің бірі массалар центрі С арқылы өтсін, ал екіншісі – координаттар басынан dқашықтығында орналасқан Р нүктесі арқылы өтсін. Осьтердің екеуі де сурет жазықтығына перпендикуляр. Δm_i – қатты дененің массасының кішкентай элементі болсын. Инерция моментінің анықтамасы бойынша:

I_Pүшін өрнекті:

түрінде жазуға болады. Координаттар басы С массалар центрімен беттесетіндіктен, соңғы екі мүше 0-ге айналады. Бұл массалар центрінің анықтамасынан шығады. Сондықтан:

IP = IC + md2,

 мұндағы m – дененің толық массасы. Бұл нәтижені Штейнер теоремасы (айналу осін параллель көшіру туралы теорема) деп атайды.

1.23.7- сурет. Кейбір біртекті қатты денелердің I_C инерция моменттері.

 1.23.7-суретінде әр түрлі пішінді біртекті қатты денелер және олардың массалар центрі арқылы өтетін оське қатысты инерция моменттері көрсетілген.

Ньютонның екінші заңы қатты дененің қозғалмайтын оське қатысты айналуы үші жалпылануы мүмкін. 1.23.8-суретінде О нүктесі арқылы өтетін, сурет жазықтығына перпендикуляр оське қатысты айналатын қандай да бір қатты дене көрсетілген. Массаның кез келген кішкентай Δm_i элементін бөліп алайық. Оған сыртқы және ішкі күштер әсер етеді. Тең әсерлі күш . Оны екі құраушыға: жанама құраушы  және радиал құраушы  жіктеуге болады. Радиал құраушы a_n центрге тартқыш үдеуді тудырады.

 күшінің  жанама және радиал  құраушылары

   жанама құраулы Δm_i массасының тангенциал үдеуін тудырады. Скаляр түрде жазылған Ньютон заңы:

Δm_ia_iτ = F_iτ = F_i sin θ  или  Δm_ir_iε = F_i sin θ,

береді. Мұндағы:

- қатты дененің барлық нүктелерінің бұрыштық үдеуі. Егер жоғарыда жазылған теңдеудің екі жағын да r_i-ге көбейтсе, онда

аламыз, мұндағы l_i – күш иіні , M_i –  күшінің моменті.

 Енді дәл осындай қатынастарды айналмалы қатты дененің барлық Δm_i массасының элементтері үшін жазып, сол және оң жақтарып қосындылау қажет. Бұдан:

Оң жағында тұрған қатты дененің әр түрлі нүктелеріне әсер ететін күш моменттерінің қосындысы – барлық сыртқы және ішкі күш моменттерінің қосындысынан тұрады:

Бұл – қатты дененің айналмалы қозғалысы динамикасының негізгі теңдеуі. ε бұрыштық үдеуі және M күш моменті бұл теңдеуде алгебралық шамалар болып табылады. Әдетте оң бағыт ратінде сағат жүрісінің кері бағытын алады.

Жоғарыда жазылған теңдеудің векторлық  формасы да болады.

шамалары айналу осінің бойымен бағытталған векторлар ретінде анықталады. Ілгерілемелі қозғалысты оқыған кезде, дененің импульсі ұғымы енгізіледі. Дәл осылайша, айналмалы қозғалысты зерттегенде импульс моменті ұғымы енгізіледі.