Б1. 37.Компактное множество

Определение. Пусть множество . Семейство открытых множеств называется открытым покрытием множества Е, если каждая точка принадлежит хотя бы одному из множеств , т.е. если .

Определение. Множеств называется компактным, если каждое его открытое покрытие содержит конечное подсемейство, также покрывающее множество Е. Это подсемейство называется конечным подпрокрытием.

Например, множество, состоящее из одной точки, двух точек или любого конечного набора точек, очевидно, компактное. Пусть . Диаметром множества Е называется число

diam , т.е. верхняя грань расстояний между всевозможными парами точек из Е. Например, если - - мерный сегмент, то, diam ,где .

Лемма (о вложенности сегментах). Пусть - последовательность вложенных сегментов из , т.е. , диаметры которых стремится к нулю при . Тогда существует, и притом единственная , точка , принадлежащая всем этим сегментам.

_{Доказательство.} Пусть .При каждом фиксированном последовательность одномерных отрезков состоит из вложенных друг в друга отрезков, т.е. б и длины этих отрезков стремятся к нулю при . По лемме Кантора , для зафиксированного i найдется число такое, что , т.е. .Но тогда точка , очевидно, принадлежит всем . Двух различных точек, принадлежащих всем одновременно, быть не может. Действительно, если , то . По условию правая часть стремится к нулю при , так что

Б1. 38. Компакт в конечномерном пространстве.

Определение 1. Коне́чноме́рное простра́нство — это векторное пространство, в котором имеется конечный базис — порождающая (полная) линейно независимая система векторов.

Другими словами, в таком пространстве существует конечная линейно независимая система векторов, линейной комбинацией которых можно представить любой вектор данного пространства.

Базис — это (одновременно) и минимальная порождающая (полная) система, и максимальная линейно независимая система векторов. Все базисы содержат одно и то же количество элементов, которое называется размерностью векторного пространства.

Конечномерное пространство, в котором введено скалярное произведение его элементов называется евклидовым. Конечномерное пространство, в котором введена норма его элементов называется конечномерным нормированным. Наличие скалярного произведения или нормы порождает в конечномерном пространстве метрику.

Компактность метрического пространства

К метрическому пространству, естественно, можно применить топологическое определение компактности. Однако в случае метрических пространств удобно пользоваться другими опре- делениями (= критериями) компактности. Постепенно мы установим равносильность для мет- рических пространств всех приводимых нами определений (критериев) компактности.

Определение 2. Метрическое пространство X называется компактным, если любое его бесконечное подмножество имеет предельную точку.

Замечание. Метрическое пространство, состоящее из конечного числа точек, следует считать компактным: в нём нет бесконечных подмножеств, а стало быть, для всякого его бесконечного подмножества условие существования предельной точки выполнено. (Для несуществующего объекта верно всё что угодно.)

Определение 2а. Метрическое пространство X называется компактным, если любая по- следовательность его точек имеет предельную точку (= содержит сходящуюся подпоследова- тельность).

Предостережение. Обращаем внимание читателя на различия понятий предельной точки последовательности и множества. Так, предельная точка последовательности может не быть предельной точкой множества её значений. (Почему? Приведите примеры.)

Докажем равносильность этих определений.

Определение 2⇒ Определение 2а. Рассмотрим произвольную последовательность {x_n} ⊂ X. Покажем, что из неё можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Если из неё можно извлечь стационарную подпоследовательность, утверждение тривиально. В противном случае можно утверждать, что множество значений последовательности бесконечно. По условию оно имеет предельную точку x ∈ X. Таким образом, в любой окрестности точки x найдётся элемент последовательности, отличный от x. Уменьшая размеры окрестностей, мы получим, что в любой окрестности таких элементов даже бесконечно много. Тем самым, x — предельная точка последовательности {x_n}.

Определение 2а ⇒ Определение 2. Пусть Y ⊂ X — бесконечное множество. Построим последовательность {xn} его элементов так, чтобы среди её членов не было равных. По условию она имеет предельную точку x. Легко видеть, что x является также предельной точкой множества X. В самом деле, по определению предельной точки последовательности в каждой окрестности точки x найдётся бесконечно много членов последовательности. Но в силу нашего выбора они суть различные точки множества X. Они не могут все совпадать с x. Тем самым, в любой окрестности точки x имеется хотя бы одна точка xn ∈ X, отличная от x.

Утверждение доказано.

Пример. Пользуясь определением 2а, нетрудно заметить, что бесконечномерное гильберто- во пространство l ² не является локально компактным . Достаточно доказать некомпактность единичной сферы с центром в нуле. Имеем для элементов стандартного базиса ||e_k − e_l|| = √ 2, а следовательно, из {e_n} нельзя извлечь сходящуюся подпоследовательность.