Б2. 20. Примеры ортонормированных базисов

• Стандартный базис 

 в n-мерном евклидовом пространстве Rⁿ является ортонормированным.

• Множество   образует ортонормированный базис в L2([-π, π]).

• Примером ортонормированного базиса является стандартный базис пространства Rn (если скалярное произведение в Rn определить как сумму произведений одноименных компонент).

• Векторы i, j образуют ортонормированный базис в пространстве   свободных векторов на плоскости. Точно так же векторы i, j, k образуют ортонормированный базис в пространстве .

• В гильбертовом пространстве L² [-p;p] функций суммируемых с квадратом модуля на отрезке [-p;p] функции 1, cos t, sin t, sin 2t,… образуют ортогональный базис. Однако эта система функций не является нормированной.

Б2. 21. Неравенство Бесселя

Б2. 22. Равенство Стеклова-Парсеваля

1) Если существует постоянная c>0 такая, что приn=1,2,…, в частности, если система функций ортонормированная (в этом случае можно взятьc=1), то коэффициенты Фурье любого элемента стремятся к нулю при (3.3.16)

Это следует из сходимости ряда

ибо общий член сходящегося ряда стремится к нулю.

Определение: Система функций называется полной, если

где - коэффициенты Фурье элемента .

Приведенное в определении равенство называется равенством Парсеваля-Стеклова и для случая ортонормированной системы функций представляет собой обобщение теоремы Пифагора на бесконечномерные пространства.

2) Ортогональная система (j_k) из гильбертова пространства Н называется полной, если для любого хÎН  (ряд Фурье, составленный для х, сходится к х).

Полная ортогональная система называется ортогональным базисом гильбертова пространства Н.

Из предыдущего имеем  .

Отсюда приходим к заключению: для того чтобы система (j_k) была полной, необходимо и достаточно, чтобы  .

Таким образом, в случае полной системы и только в этом случае неравенство Бесселя превращается в равенство. Это равенство называется равенством Парсеваля-Стеклова. Заметим, что полнота ортогональной системы означает, что ее нельзя дополнить до более широкой ортогональной системы путем присоединения новых элементов.

Б2. 23. Задача о наилучшем приближении функции

Рассмотрим задачу о наилучшем приближении в пространстве L² функции  линейной комбинацией конечного числа ортогональных функций   .

Выбрать действительные коэффициенты     ,   - попарно ортогональны, чтобы минимизировать среднеквадратическое уклонение функции от линейной комбинации

 .

Преобразуем выражение для   , применяя известную еще из школы процедуру выделения полного квадрата и учитывая ортогональность функций   :

(  ).

= 

=   =

=   .

Минимизировать это выражение по   - означает минимизировать второе слагаемое, в котором содержатся коэффициенты   . Это слагаемое неотрицательно, так как   (свойство скалярного произведения), а квадратная скобка, в которую входят   , стоит в квадрате. Следовательно, минимизировать это второе слагаемое – означает сделать его нулевым, выбрав коэффициенты

 . Коэффициенты   называются коэффициентами Фурье.

Если     , то   . Но   , поэтому

 или   . Эти неравенства называются неравенствами Бесселя.

Если система функций   полна (в гильбертовом пространстве это выполнено, так как функции попарно ортогональны), то справедливо равенство Парсеваля   .

В самом деле, пусть   . Тогда   ( так как   ).

Если функции   не только ортогональны, но еще и ортонормированны, т.е.   , то равенство Парсеваля – это аналог теоремы Пифагора в бесконечномерном пространстве   .

Б2. 24. Метрика в Rn

Евклид кеңістігі де толық метрикалық кеңістік екені белгілі. Оған көз жеткізу үшін - іргелі тізбек болсын. Онда кез келген – ге сәйкес нөмірі табылып, барлық үшін

.

Сондықтан әрбір үшін . Бұл тізбегі кеңістігінде іргелі болғаны, оның шегі бар

Онда іргелі тізбектің шегі

Пространство Rⁿ. Rⁿ – линейной пространство над полем R. Rⁿ – Евклидово пространство (линейное пространство со скалярным произведением  ). Скалярным произведением называют отображение 

Rⁿ – метрическое пространство с метрикой, или расстоянием  Линейное пространство называется метрическим, если в нём определена метрика – отображение  удовлетворяющая свойствам: неравенство треугольника.