Б2. 18. Ортогональная система элементов

ОРТОГОНАЛИЗАЦИЯ процесс ортогонализации,-алгоритм построения для данной линейнонезависимой системы векторов евклидова или эрмитова пространстваV ортогональной системыненулевых векторов, порождающих то же самое подпространство в V. Наиболее известным является процессортогонализации Шмидта (или Грама - Шмидта), при к-ром по линейно независимой системе a_l,...,a_k строитсяортогональная система b_l,...,b_k такая, что каждый вектор b_i (i=1,...,k).линейно выражается через a_l,...,a_i то естьb_i= , где C=||g_ij|| - верхняя треугольная матрица. При этом можно добиться того, чтобы система{b_i} была ортонормированной и чтобы диагональные элементы g_ij матрицы Сбыли положительны; этимиусловиями система {b_i} и матрица Сопределяются однозначно. .

Процесс Грама-Шмидта состоит в следующем. Полагают b₁=а ₁;если уже построены векторы b_l,...,b_i то 

где 

j=1,...,i, найдены из условия ортогональности вектора b_i+1 к b_l,...,b_i. Геометрии, смысл описанного процессасостоит в том, что на каждом шагу вектор b_i+1 является перпендикуляром, восстановленным к линейнойоболочке векторов a_l,...,a_i до конца вектора b_i+1. Произведение длин |b_i|...|b_k| равно объемупараллелепипеда, построенного на векторах системы { а _i}, как на ребрах. Нормируя полученные векторы b_i, получают искомую ортонормированную систему. Явное выражение векторов b_i через a_l,...,a_k дает формула 

(определитель в правой части следует формально разложить по последнему столбцу). Соответствующая ор-тонормированная система имеет вид 

где Г _i - Грама определитель системы a_l,...,a_j.

Этот процесс применим также и к счетной системе векторов.

Процесс Грама-Шмидта может быть истолкован как разложение невырожденной квадратной матрицы впроизведение ортогональной (или унитарной матрицы в случае эрмитова пространства) и верхнейтреугольной матрицы с положительными диагональными элементами, что есть частный случай Ивасавыразложения.

Б2. 19. Ортонормированный базис

Ортогональный (ортонормированный) базис — ортогональная (ортонормированная) система элементов линейного пространства со скалярным произведением, обладающая свойством полноты.

Конечномерный случай

Ортогональный базис — базис, составленный из попарно ортогональных векторов.

Ортонормированный базис удовлетворяет еще и условию единичности нормы всех его элементов. То есть это ортогональный базис с нормированными элементами.

Последнее удобно записывается при помощи символа Кронекера:

то есть скалярное произведение каждой пары базисных векторов равно нулю, когда они не совпадают ( ), и равно единице при совпадающем индексе, то есть когда берется скалярное произведение любого базисного вектора с самим собой.

Очень многое записывается в ортогональном базисе гораздо проще, чем в произвольном, поэтому очень часто стараются использовать именно такие базисы, если только это возможно или использование какого-то специального неортогонального базиса не дает особых специальных удобств. Или если не отказываются от него в пользу базиса общего вида из соображений общности.

Ортонормированный базис является самодуальным (дуальный ему базис совпадает с ним самим). Поэтому в нём можно не делать различия между верхними и нижними индексами, и пользоваться, скажем, только нижними (как обычно и принято, если конечно при этом используются только ортонормированные базисы).

Линейная независимость следует из ортогональности, то есть достигается для ортогональной системы векторов автоматически.

Коэффициенты в разложении вектора по ортогональному базису:

можно найти так:

.

Полнота ортонормированной системы векторов эквивалентна равенству Парсеваля: для любого вектора   квадрат нормы вектора равен сумме квадратов коэффициентов его разложения по базису:

Аналогичные соотношения имеют место и для бесконечномерного случая 

Бесконечномерный случай

Ортогональный базис — система попарно ортогональных элементов   гильбертова пространства   такая, что любой элемент   однозначно представим в виде сходящегося по норме ряда

называемого рядом Фурье элемента   по системе  .

Часто базис   выбирается так, что  , и тогда он называется ортонормированным базисом. В этом случае числа  , называются коэффициентами Фурье элемента   по ортонормированному базису  , имеют вид

.

Необходимым и достаточным условием того, чтобы ортонормированная система   была базисом, является равенство Парсеваля.

Гильбертово пространство, имеющее ортонормированный базис, является сепарабельным, и обратно, во всяком сепарабельном гильбертовом пространстве существует ортонормированный базис.

Если задана произвольная система чисел   такая, что  , то в случае гильбертова пространства с ортонормированным базисом   ряд   — сходится по норме к некоторому элементу  . Этим устанавливается изоморфизм любого сепарабельного гильбертова пространства пространству   (теорема Рисса — Фишера).