Б2. 11. Теорема о мере конечного или счетного множества точек

Определение. Множество А, равномощное множеству натуральных чисел N, называется Счетным множеством (имеет мощность счетного множества). Если множество В является бесконечным и не равномощно множеству N, то его называют несчетным.Теорема 1. Любое подмножество счетного множества не более чем счетно.

Теорема 2. Объединение конечного или счетного числа счетных множеств является счетным множеством.

Теорема 3. Любое бесконечное множество содержит счетное подмножество.

Теорема 4. Пусть множество М - несчетно, множество А не более чем счетно и А Í М. Тогда множество М – А равномощно множеству М.

Теорема 5. Если множество С бесконечно, а В не более чем счетно, то множество ВÈС равномощно множеству С.

Теорема 6. Если множество С является бесконечным, то существует его подмножество В такое, что В¹С и В равномощно с С.

.Теорема 7. Множество рациональных чисел Q является счетным.

Теорема 8. Множество точек интервала (0,1) является несчетным.

Б2. 12. Пространства Лебега

Рассмотрим один важнейший вид банаховых пространств.

Зафиксируем действительное число и некоторый отрезок [a, b]. Рассмотрим на [a, b] множество всех комплекно значных функций f(x), для которых существует . Операции сложения функций и умножения функции на комплексное число определим обычным образом. Норму определим как

Полученные таким образом пространства (ниже мы убедимся, что эти пространства банаховы при любом ) называют лебеговыми пространствами или классами Лебега** и обозначают

Вообще говоря, в современной математике используются несколько различных понятий определенного интеграла. Наиболее употребимыми из них являются интеграл Римана (именно его обычно изучают в классическом курсе анализа) и интеграл Лебега. Как явствует из самого названия, при рассмотрении классов Лебега используется интеграл Лебега.

Понятие интеграла Лебега - более общее, чем интеграла Римана. Функция, интегрируемая на [a, b] по Риману, интегрируема и по Лебегу (причем значения интегралов совпадают), но обратное, вообще говоря, неверно.

Б2. 13. Евклидово пространство

Определение вещественного евклидова пространства. Вещественное линейное пространство R называется вещественным евклидовым пространством (или просто евклидовым пространством), если выполнены следующие два требования.  I. Имеется правило, посредством которого любым двум элементам этого пространства х и у ставится в соответствие вещественное число, называемое скалярным произведением этих элементов и обозначаемое символом (х, у).  П. Указанное правило подчинено следующим четырем аксиомам:  1°. (х, у) = (у, х) (переместительное свойство или симметрия);  2°. (x₁ + x2, у) = (х₁ ,у) + (х₂, у) (распределительное свойство);  3°. (λх, у) = λ(х, у) для любого вещественного λ;  4°. (х, х) > 0, если х — ненулевой элемент; (х, х) = 0, если х — нулевой элемент.  Подчеркнем, что при введении понятия евклидова пространства мы абстрагируемся не только от природы изучаемых объектов, но и от конкретного вида правил образования суммы элементов, произведения элемента на число и скалярного произведения элементов (важно лишь, чтобы эти правила удовлетворяли восьми аксиомам линейного пространства и четырем аксиомам скалярного произведения).  Если же природа изучаемых объектов и вид перечисленных правил указаны, то евклидово пространство называется конкретным.  Приведем примеры конкретных евклидовых пространств.  Пример 1. Рассмотрим линейное пространство В₃, всех свободных векторов. Скалярное произведение любых двух векторов определим так, как это было сделано в аналитической геометрии (т. е. как произведение длин этих векторов на косинус угла между ними). В курсе аналитической геометрии была доказана справедливость для так определенного скалярного произведения аксиом   1°- 4°. Стало быть, пространство В₃ с так определенным скалярным произведением является евклидовым пространством.  Пример 2. Рассмотрим бесконечномерное линейное пространство С [а, b] всех функций x(t), определенных и непрерывных на сегменте а ≤ t ≤ b. Скалярное произведение двух таких функций x(t) и y(t) определим как интеграл (в пределах от а до b) от произведения этих функций 

Элементарно проверяется справедливость для так определенного скалярного произведения аксиом 1°-4°. В самом деле, справедливость аксиомы 1° очевидна; справедливость аксиом 2° и 3° вытекает из линейных свойств определенного интеграла; справедливость аксиомы 4° вытекает из того, что интеграл   от непрерывной неотрицательной функции x²(t) неотрицателен и обращается в нуль лишь тогда, когда эта функция тождественно равна нулю на сегменте а ≤ t ≤ b (т.е. является нулевым элементом рассматриваемого пространства).  Таким образом, пространство С [а, b] с так определенным скалярным произведением представляет собой бесконечномерное евклидово пространство.

Б2. 14. Неравнество Коши-Буняковского

В основе доказательства лежит утверждение, что дискриминант неотрицательной квадратичной функции неположителен.

Рассмотрим функцию

Неположительность дискриминанта этой функции и есть требуемое неравенство.

На неравенстве Коши основан один полезный прием оценки выражений вида  :

Действительно,

Б2. 15 Неравенство Чебышева

Определение:

Неравенство Чебышева является следствием Неравенства Маркова и утверждает, что случайная величина в основном принимает значения, близкие к значению математического ожидания. Говоря более точно, оно дает оценку вероятности, что случайная величина примет значение, далекое от своего среднего.

Формулировка

Если  , то   будет выполнено

Доказательство

Для   неравенство   равносильно неравенству  , поэтому

Следствие

Как следствие получим так называемое "правило трех сигм",которое означает, что вероятность случайной величины отличаться от своего математического ожидания более чем на три корня из дисперсии мала.

Рассмотрим такое утверждение:

Если , то

.

Доказательство: Согласно неравенству Чебышева

Отсюда заметим, что вероятность отклониться значению случайной величины от значения математического ожидания меньше чем 

Б2. 16. Норма в евклидовом пространстве

Пусть V=E (или V=U)

Определение:

Нормой (или длиной) элемента   называется вещественное число 

Свойства нормы:

Из свойств скалярного произведения сразу следует:

1)  , причем   (нулевой элемент)

2) 

Доказательство:

#

3) Неравенство Коши-Буяковского

справедливо 

Доказательство:

1. Пусть 

а) x=θ,   θ, тогда α  запишем:

, рассм. левую часть нер-ва как квадратный трехчлен относительно   т.к. (y,y)>0,то  или 

б)   напр., y = θ, тогда  , где   θ, откуда  .

С другой стороны,     нер-во.   выполняется (в виде рав-ва)

2. Пусть  , тогда  C запишем

Пусть , тогда  , откуда  .

Пусть  (здесь  ) тогда  ,

, рассм. левую часть нер-ва как квадратный трехчлен относительно   т.к. (y,y)>0,то  

4) Неравенство треугольника

 справедливо:

Доказательство:

Используя неравенство Коши-Буяковского

Б2. 17. Линейно-зависимая и независимая система элементов

Определение линейной зависимости и линейной независимости системы векторов.

Рассмотрим набор из p n-мерных векторов, обозначим их следующим образом  . Составим линейную комбинацию этих векторов и произвольных чисел   (действительных или комплексных):  . Отталкиваясь от определения операций над n-мерными векторами, а так же свойств операций сложения векторов и умножения вектора на число, можно утверждать, что записанная линейная комбинация представляет собой некоторый n-мерный вектор  , то есть,  .

Так мы подошли к определению линейной зависимости системы векторов  .

Определение.

Если линейная комбинация   может представлять собой нулевой вектор тогда, когда среди чисел   есть хотя бы одно, отличное от нуля, то система векторов   называется линейно зависимой.

Определение.

Если линейная комбинация   представляет собой нулевой вектор только тогда, когда все числа   равны нулю, то система векторов   называется линейно независимой.

Свойства линейной зависимости и независимости.

На основании данных определений, сформулируем и докажем свойства линейной зависимости и линейной независимости системы векторов.

1. Если к линейно зависимой системе векторов   добавить несколько векторов, то полученная система будет линейно зависимой.

Доказательство.

Так как система векторов   линейно зависима, то равенство   возможно при наличии хотя бы одного ненулевого числа из чисел  . Пусть  .

Добавим к исходной системе векторов еще s векторов  , при этом получим систему  . Так как   и  , то линейная комбинация векторов этой системы вида   представляет собой нулевой вектор, а  . Следовательно, полученная система векторов является линейно зависимой.

2. Если из линейно независимой системы векторов   исключить несколько векторов, то полученная система будет линейно независимой.

Доказательство.

Предположим, что полученная система линейно зависима. Добавив к этой системе векторов все отброшенные векторы, мы получим исходную систему векторов. По условию – она линейно независима, а в силу предыдущего свойства линейной зависимости она должна быть линейно зависимой. Мы пришли к противоречию, следовательно, наше предположение неверно.

3. Если в системе векторов   есть хотя бы один нулевой вектор, то такая система линейно зависимая.

Доказательство.

Пусть вектор   в этой системе векторов является нулевым. Предположим, что исходная система векторов линейно независима. Тогда векторное равенство   возможно только тогда, когда  . Однако, если взять любое  , отличное от нуля, то равенство   все равно будет справедливо, так как  . Следовательно, наше предположение неверно, и исходная система векторов линейно зависима.

4. Если система векторов   линейно зависима, то хотя бы один из ее векторов линейно выражается через остальные. Если система векторов   линейно независима, то ни один из векторов не выражается через остальные.

5. Доказательство.

Сначала докажем первое утверждение.

Пусть система векторов   линейно зависима, тогда существует хотя бы одно отличное от нуля число   и при этом верно равенство  . Это равенство можно разрешить относительно  , так как  , при этом имеем Следовательно, вектор   линейно выражается через остальные векторы системы  , что и требовалось доказать.

Теперь докажем второе утверждение.

Так как система векторов   линейно независима, то равенство   возможно лишь при  .

Предположим, что какой-нибудь вектор системы   выражается линейно через остальные. Пусть этим вектором является  , тогда  . Это равенство можно переписать как  , в его левой части находится линейная комбинация векторов системы, причем коэффициент перед вектором   отличен от нуля, что указывает на линейную зависимость исходной системы векторов. Так мы пришли к противоречию, значит, свойство доказано.

Из двух последних свойств следует важное утверждение: если система векторов содержит векторы   и  , где   – произвольное число, то она линейно зависима.