Б2. 7. Сингулярные функции

Сингулярная функция — это непрерывная функция, производная которой равна нулю почти всюду.

Исторически первым примером сингулярной функции является Канторова лестница.

Существуют другие примеры сингулярных функций. Например, и функция Минковского, множество точек роста которых заполняет полностью отрезок .

Сингулярная функция встречается, к примеру, при изучении последовательности пространственно модифицированных фаз или структур в твёрдых телах и магнетиках, описываемых в модели Френкеля — Конторовой.

Сингулярной обобщенной функции являтся функция Дирака

Отличная от постоянной непрерывная функция с конечным изменением, производная которой почти везде равна нулю, называется сингулярной функцией.

Б2. 8. Обобщенные производные

Лемма 1. Если есть обычная производная, определённая в каждой точке , тогда является обобщённой производной от порядка .

Лемма 2. Обобщённая производная определяется с точностью до эквивалентности.

Обобщённые производные сохраняют некоторые свойства обычных производных:

1)  Если и имеют обобщённую производную в , то также имеет обобщённую производную в при этом

2)  Если есть обобщённая производная вида , а есть обобщённая производная вида , то есть обобщённая производная от

3)  Из определения обобщённой производной следует, что она независит от порядка дифференцирования.

3)  Другим важным отличием обобщённых производных от классических является то, что обобщённые производные определяются с точностью до множества меры ноль.

Б2. 9. Счетные множества

Одним из немаловажных понятий теории множеств является понятие счетного множества. Но прежде чем ввести это понятие, необходимо усвоить и разъяснить некоторые элементарные понятия и определения.

Определение 1. Множество называется конечным, если количество элементов этого множества есть конечное число. Если же количество элементов множества есть число бесконечное, то множество называется бесконечным.

Б2. 10. Множества мощности континиуум

Мощность множества, кардинальное число множества (лат. cardinalis ← cardo — главное обстоятельство, стержень, сердцевина) — характеристика множеств (в том числе бесконечных), обобщающая понятие количества (числа) элементов конечного множества.

В основе этого понятия лежат естественные представления о сравнении множеств:

1. Любые два множества, между элементами которых может быть установлено взаимно-однозначное соответствие (биекция), содержат одинаковое количество элементов (имеют одинаковую мощность).

2. Обратно: множества, равные по мощности, должны допускать такое взаимно-однозначное соответствие.

3. Часть множества не превосходит полного множества по мощности (то есть по количеству элементов)

Теорема. Множество, эквивалентное множеству всех точек отрезка [0, 1] называется множеством мощности континуума.

Так как множества точек интервалов, отрезков и всей прямой эквивалентны между собой, то все они имеют мощность континуума.

Следствие. Множество вещественных чисел имеет мощность континуума.

Вспомним, что счетное множество – самое “маленькое” из всех бесконечных множеств. Поэтому можно сказать, что вещественных чисел гораздо больше, чем рациональных – ведь вещественных чисел континуум, а рациональных – всего лишь счетное множество.