§7 Интегрирование четных и нечетных функций.

Th Пусть на симметричном относительно начала координат сегменте.

Тогда

Док-во

Пример 1.

Пример 2.

Решение. Ф-я четна. Докажем, что ф-я нечетна;

Т.О., подынтегральная ф-я представляет собой произведение четной и нечетной функции, т.е является – нечетная ф-я, поэтому J=0

Замечание. Если ф-я f(x) периодическая с периодом Т то

Пример 3.

Решение. Подынтегральная ф-я является периодической с периодом Т= , т.к

Поэтому от верхнего и нижнего пределов интегрирования можно отнять число π:

Пример 4. Вычислить интеграл.

Решение.

Мы разложили ин-л J в сумму двух интегралов Т.О., чтобы под знаком первого ин-ла стояла нечетная ф-я, а под знаком второго интеграла – четная функция. Тогда .