§5 Замена переменной в определенном интеграле . Интегрирование по частям

Теорема 1

Пусть

1.

2.

3.

4.

Тогда (1)

Доказательство

Т.к. -первообразная на и

По теореме о замене переменной в неопределенном интеграле -первообразная для на (и на )

Отсюда (1)

Отметим, что при в доказательстве должны фигурировать соответствующие односторонние производные.

В случае, если

При некоторых t, может выходить за отрезок . Но обязательно

Пример

Этот интеграл можно вычислить и без теоремы 1

Нам известен неопределенный интеграл

(По формуле )

§6 Интегрирование по частям в определенном интеграле

Для определенных интегралов имеет место формула интегрирования по частям, аналогичная той, которая была получена для неопределенного интеграла

Пусть на имеем:

По формуле Н-Л и кроме того

Откуда или ч.т.д.

а обобщенная формула интегрирования по частям перейдет в такую:

При этом по прежнему функции и все встречающиеся производные предполагаются непрерывными.

Пример 1.

Пример 2

Замена переменного под знаком определенного интеграла

Пусть требуется вычислить от . Иногда, как в неопределенном интеграле бывает удобно произвести замену перестановкой «х» на новую переменную t, которые связаны между собой соотношением:

Докажем относительно такой замены теорему

Th2. Пусть выполнены следующие условия:

1. Уравнения и имеют решения

(Обозначим их соотвественно и , так что , )

2. Функция (имеет непрерывную производную на )

3. При изменении на отрезке значение функции не выходит из отрезка (т.е ) и следовательно сложная функция определена (или ).

Тогда имеет место равенство:

(1)

Называемое формулой замены переменной под знаком определенного интеграла

Доказательство

Пусть

на , тогда по формуле Ньютона-Лейбница имеем (2), рассмотрим на функцию переменного t определенную соотношением и . Вычислим ее производному по правилу сложной функции:

что функция является первообразной для функции на сегменте .

Тогда по формуле Ньютона-Лейбница (которая здесь применима, т.к. функция ) имеем:

(3)

(т.к. по условию )

Сопоставляя равенства (2) и (3) мы и получим доказываемую формулу (1)

(1) ч.т.д

Замечание.

При использовании формулы (1) ф-ю следует стараться выбрать так, чтобы новый интеграл был более простым для вычисления, чем первоначальный.

Пределы нового интеграла определяются из уравнений: и . При этом эти уравнения могут иметь по несколько корней, тогда за можно принять любой корень уравнения , а за любой корень уравнения

Лишь бы выполнялись условия 2 и 3 th. Условие th3 окажется, в частности, наверняка выполненным, если ф-я будет монотонной на [a,b]

Поэтому на практике замену переменного осуществляют с помощью монотонных функций.

Если ф-я не может принимать значений, равных пределам интегрирования a и b, то она не может служить для выполнения замены переменного в этом интеграле.