Th5. (Достаточное условие интегр-ти монотонных функций)
Пусть
f(x)
– определена и монотонна на [a,b]
=>
(б/д)
Отметим, что в th5 в неявном виде заложено условие ограниченности функции f(x) на [a,b]
§3 Свойства определенного интеграла.
I) Аддитивность (от лат-го additivus – прибавленный) интеграла, как функции отрезка интегрирования.
(пусть
,
тогда
)
(б/д)
Df
1При
a=b
положим
- интеграл с одинаковыми пределами
интегрирования = 0
Df
2
При a>b
положим
, если один из интегралов
(т.е при перестановке между собой верхнего
и нижнего пределов интегрирования
интеграл умножается на -1)
Эти определения естественно обобщают введенное ранее определение определенного интеграла. При этом в интегральных суммах нужно ввести понятие ориентированного отрезка и считать, что
,
если
,
если
(2) Пусть f(x) – интегрируема на большем из отрезков [a,b] , [a,c] , [c,b].
а с b
a<c
, a<b
, c<b
(a<c<b)
=> f(x)
интегрируема на
двух
других отрезках и справедлива формула.
(б/д)
Df
Положим
Для
функции
, где a<b
, положим
Т.е при перестановке между собой верхнего и нижнего пределов интегрирования определенный интеграл умножается на «-1».
II Свойства, связанные с арифметическими действиями над подынтегральными функциями
3) Линейность
Пусть
и справедлива формула:
Док-во
Возьмем
.
Тогда
,
тогда:
предел
из соответствующего равенства следует
из свойств пределов
Замечание. Свойство (3) может быть обобщено на конечную сумму интегрируемых функций
4. Однородность
И справедливо равенство:
5)
Пусть
и
а)
б)
если
Док-во
Возьмем
тогда
,
тогда
Замечание.
Свойство (5а) может быть обобщено на конечное произведение интегрируемых функций
III Некоторые оценки интеграла
Пусть
Доказательство
, составим интегральную сумму:
используя
свойства пределов (теорема о переходе
к пределу в неравенствах) при
,
перейдем в (*) к пределу и получим:
Следствие из (6)
Пусть
и
Доказательство
следует из свойства (6), если обозначить
и использовать свойство линейности
(7)
Пусть
и
Доказательство
Т.к.
,
то
.
Применяя следствие из теоремы 6 к
неравенствам
получим
неравенства:
,
которое можно записать как одно
неравенство
Т.е. абсолютная величина интеграла от непрерывной функции не больше интеграла от абсолютной величины этой же функции
Следствие из (7)
По свойствам (6) и (7)
(8)
Пусть
определена
на
за
исключением конечного числа точек
(б/д).
В частности, отсюда вытекает, что если
Следствие из (8)
Пусть
за исключением конечного числа точек
одновременно
или интегрируемы, или не интегрируемы
на
и,
если интегрируемы, то
Доказательство
следует из свойства (8) и свойства
линейности
,
если положить
Замечание.
Согласно
свойству (8) можно рассматривать интегралы
от ограниченных функций, не определенных
в конечном числе точек
.
Для этого необходимо доопределить
произвольным образом функцию в
IV Теорема о среднем.
Пусть:
Тогда
,
что
… (1)
Док-во.
Отметим,
во-первых
Действительно
- ограниченная на [a,b]
=>
,
как произведение интегрируемых функций
Положим далее для определенности a<b
И
.
Другие случаи доказываются аналогично.
Очевидно:
,
проинтегрируем это выражение по [a,b]:
Возможны два варианта (из сво-ва (6) )
Но
тогда (1) выполняется
.
Разделим
(2) на
Следствие. А.
Пусть
и сохранит знак
:
Док-во
Условия св-ва (9) выполнены => справедлива формула (1)
Но
т.к
, то по th
о промежуточном значении непрерывных
на отрезке функций
3)
Следствие. В.
Пусть
Что
4)
Док-во
=> из свойства (9), если положить
Следствие С.
Пусть
5)
Док-во
следует из следствия А, если положить
.
Равенство 5) чаще всего называют теоремой
о среднем значении. Оно имеет простой
геометрический смысл.
Df:
- называют криволинейной трапецией.
прямоугольник
с высотой
где
равновеликая криволинейная трапеция
с основанием [a,b]
Замечание.
Помимо
классов функций
введем классы
,
где
- множество всех функций f(x),
определенных и ограниченных на [a,b];
-
множество всех функций f(x),
определенных и монотонных на [a,b].
Тогда:
.