Наибольший общий делитель (нод)

Решим задачу. У нас есть  два типа печенья. Одни шоколадные, а другие простые. Шоколадных 48 штук, а простых 36. Необходимо составить из этого печенья максимально возможное число подарков, при этом надо использовать их все.

Для начала выпишем все делители каждого из этих двух чисел, так как оба эти числа должны делиться на количество подарков.

Получаем,  48: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48.

36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.

Найдем среди делителей общие, которые есть как у первого, так и у второго числа.

Общими делителями будут: 1, 2, 3, 4, 6, 12.

Наибольшим из всех общих делителей является число 12. Это число называют наибольшим общим делителем чисел 36 и 48.

Исходя из полученного результата, можем заключить, что из всего печенья можно составить 12 подарков. В одном таком подарке будет 4 шоколадных печенья и 3 обычных печенья.

Определение наибольшего общего делителя

Наибольший общий делитель (НОД) двух данных чисел a и b - это наибольшее число, на которое оба числа a и b делятся без остатка.

Кратко наибольший общий делитель чисел a и b записывают так: НОД (a; b).

Пример: НОД (12; 36) = 12.

Некоторые пары чисел, например числа 24 и 35, имеют в качестве наибольшего общего делителя единицу. Такие числа называют взаимно простыми числами. 

Взаимно простые числа - это натуральные числа, которые имеют только один общий делитель - число 1. Их НОД равен 1.

Натуральное число, которое имеет более двух делителей называется составным.

Как найти наибольший общий делитель

Первый способ:

Найти НОД 48 и 36.

1. Разложить делители чисел на простые множители

2. Подчёркиваем одинаковые простые множители в обоих числах.

3. Находим произведение одинаковых простых множителей и записать ответ.  НОД (36; 48) = 2 • 2 = 4

 Второй способ:

Сначала разложить на простые множители оба числа.

48 = 2·2·2·2·3, 36 = 2·2·3·3.

Теперь из множителей, которые входят в разложение первого числа, вычеркнем все те, которые  не входят в разложение второго числа. В нашем случае это две двойки.

48 = 2·2·2·2·3, 36 = 2·2·3·3.

Останутся множители 2, 2 и 3. Их произведение равно 12. Это число и будет являться наибольшим общим делителем чисел 48 и 36. 

Эти правила можно распространить на случай с тремя, четырьмя и т.д. числами.

Общая схема нахождения наибольшего общего делителя

1. Разложить числа на простые множители.

2. Из множителей, входящих в разложение одного из этих чисел, вычеркнуть те, которые не входят в разложение других чисел.

3. Посчитать произведение оставшихся множителей. Наименьшее общее кратное (нок)

Рассмотрим решение следующей задачи. Шаг мальчика составляет 75 см, а шаг девочки 60 см. Необходимо найти наименьшее расстояние, на котором они оба сделают по целому числу шагов.

Решение. Весь путь который пройдут ребята, должен делиться без остатка на 60 и на 70, так как они должны сделать каждый целое число шагов. Другими словами, в ответе должно быть число, кратное как 75 так и 60.

Сначала будем выписывать все кратные числа, для числа 75.

60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480, 540, 600, 660, … .

Теперь находим числа которые есть в обоих рядах. Общими кратными чисел будут числа, 300, 600,  и т.д.

Самое наименьшее из них, это число 300. Оно в данном случае будет называться наименьшим общим кратным чисел 75 и 60.

Наименьшим общим кратным (НОК) двух и более натуральных чисел называется наименьшее натуральное число, которое само делится нацело на каждое из этих чисел.

Кратко наименьшее общее кратное чисел a и b записывают так: НОК (a; b).

Пример: НОК (6, 8) = 24

Возвращаясь к условию задачи, наименьшее расстояние, на котором ребята сделают целое число шагов будет 300 см. Мальчик пройдет этот путь за 4 шага, а девочке потребуется сделать 5 шагов.