60. Объясните моделирование в условиях стохастической неопределенности

При математическом описании модели любого сколько-нибудь сложного процесса или явления всегда возникает задача учета случайности. Сейчас уже трудно установить, кто первый поставил вопрос, пусть и в несовершенной форме, о количественном измерении возможности появления случайного события. В течение длительного периода исследователи ограничивались рассмотрением разного рода игр, особенно игр в кости, поскольку их изучение позволяет ограничиваться простыми и «прозрачными» математическими моделями. Однако следует заметить, что многие отлично понимали то, что позднее, в 1657 г., было прекрасно сформулировано Х. Гюйгенсом: «... Я полагаю, что при внимательном изучении предмета читатель заметит, что имеет дело не только с игрой, но здесь закладываются основы очень интересной и глубокой теории». И эта теория, изучающая количественные закономерности случайных явлений в однородных массовых процессах, была создана и названа теорией вероятностей.

Теория вероятностей развилась из потребностей практики: в абстрактной форме она отражает закономерности, присущие случайным событиям массового характера. Эти закономерности играют исключительно важную роль в физике, химии, различных технических дисциплинах, экономике, военном деле и т.д. До недавнего времени теория вероятностей представляла собой еще не сложившуюся математическую науку, в которой основные понятия были недостаточно корректно определены. Сказанное относится к так называемой классической теории вероятностей. Введем некоторые основные определения:

Опыт — это осуществление какого-либо комплекса условий, который может быть воспроизведен сколь угодно большое число раз. Под событием будем понимать результат опыта или наблюдения. События могут быть элементарными (неразложимыми) и составными (разложимыми).

Элементарное событие — это событие, которое происходит в результате единичного опыта. Составное событие — это совокупность элементарных событий.

Генеральной совокупностью называют совокупность событий, которые могут быть реализованы в результате бесконечного числа однотипных опытов. Выборочной совокупностью или просто выборкой называют совокупность случайно отобранных событий из генеральной совокупности.

Объемом совокупности называют число событий этой совокупности.

Случайной величиной будем называть величину, которая в результате опыта (наблюдения, испытания) может принять одно из возможных значений, но какое именно — неизвестно. Вероятность некоторого события — это мера его «благоприятствия». События будем называть равновозможными, если мера их «благоприятствия» одинакова. В реальных условиях, когда число опытов конечно, мера «благоприятствия» определяется не вероятностью, а частостью. Пусть событие А наблюдалось в т опытах из п опытов (испытаний). Тогда частость события A(W(A) ) определяется формулой W(A) =т/п.

Если п достаточно велико, то «работает» одна из предельных теорем (закон больших чисел - теорема Бернулли), и может быть записано приближенное равенство: где р(А) — вероятность события А.

Законом распределения случайной величины называют любое правило (таблицу, функцию), позволяющее находить вероятности всевозможных событий, связанных со случайной величиной (например, вероятность того, что она примет такое-то значение или попадет на такой-то интервал).

Дискретной называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или счетным.

Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Очевидно, что число возможных значений непрерывной СВ бесконечно (несчетно). Рассмотрим некоторые простейшие характеристики случайной величины. К таким характеристикам относятся математическое ожидание, дисперсия, мода и медиана случайной величины.

Математическим ожиданием дискретной СВ называют Математическое ожидание является средневзвешенным значением СВ, в которое каждое значение входит с «весом», равным соответствующей вероятности.

Математическое ожидание - важная, но не единственная характеристика усредненного значения СВ. Усредненное значение может характеризоваться также модой и медианой.

Модой случайной величины называется ее наиболее вероятное значение (то, для которого вероятность достигает максимума).

Медианой случайной величины X называется такое ее значение х, для которого р(Х < х) ~ р(Х > х).

Дисперсией дискретной случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

Средним квадратинеским отклонением случайной величины X называется квадратный корень из дисперсии

Распределение Пуассона.\

Показательное распределение

Равномерное распределение на [а, в].

Нормальное распределение (распределение Гаусса).