49. Какие этапы построения математических моделей вы знаете?

Перечень сформулированных в содержательной (словесной) форме основных вопросов об объекте моделирования, интересующих заказчика, составляет содержательную постановку задачи моделирования.

Концептуальная постановка задачи моделирования — это сформулированный в терминах конкретных дисциплин (физики, химии, биологии и т.д.) перечень основных вопросов, интересующих заказчика, а также совокупность гипотез относительно свойств и поведения объекта моделировани.

Математическая постановка задачи моделирования — это совокупность математических соотношений, описывающих поведение и свойства объекта моделирования.

Применение любого численного метода неминуемо приводит к погрешности результатов решения задачи. Выделяют три основных составляющих возникающей погрешности при численном решении исходной задачи: > неустранимая погрешность, связанная с неточным заданием исходных данных (начальные и граничные условия, коэффициенты и правые части уравнений); > погрешность метода, связанная с переходом к дискретному аналогу исходной задачи (например, заменяя производную у\х) разностным аналогом (у(х+Ах) -у(х))/Ах, получаем погрешность дискретизации, имеющую при Дх->0 порядок Ах); > ошибка округления, связанная с конечной разрядностью чисел, представляемых в ЭВМ.

Проверка адекватности модели преследует две цели:

1) убедиться в справедливости совокупности гипотез, сформулированных на этапах концептуальной и математической постановок. Переходить к проверке гипотез следует лишь после проверки использованных методов решения, комплексной отладки и устранения всех ошибок и конфликтов, связанных с программным обеспечением;

2) установить, что точность полученных результатов соответствует точности, оговоренной в техническом задании.

Дескриптивные модели, рассмотренные выше, предназначены для описания исследуемых параметров некоторого явления или процесса, а также для изучения закономерностей изменения этих параметров. Эти модели могут использоваться:

> для изучения свойств и особенностей поведения исследуемого объекта при различных сочетаниях исходных данных и разных режимах;

> как моделирующие блоки в различных САПР и автоматизированных системах управления (АСУ);

> при построении оптимизационных моделей и моделей-имитаторов сложных систем и комплексов.

52. Рассмотрите пример с баскетболистом

Движение баскетбольного мяча может быть описано в соответствии с законами классической механики Ньютона.

Гипотезы:

• Объектом моделирования является баскетбольный мяч радиуса R;

• Мяч будем считать материальной точкой массой м, положение которой совпадает с центром масс мяча;

• Движение происходит в поле сил тяжести с постоянным ускорением свободного падения g и описывается уравнениями классической механики Ньютона.

• Движение мяча происходит в одной плоскости, перпендикулярной поверхности Земли и проходящей через точку броска и центр корзины;

• Пренебрегаем сопротивлением воздуха и возмущениями, вызванными собственным вращением мяча вокруг центра масс.

В соответствии с изложенными гипотезами в качестве параметров движения можно использовать координаты (х и у) и скорость (ее проекция v_x и v_y) центра масс мяча. Тогда для определения положения мяча в любой момент времени достаточно найти закон движения центра масс мяча, т.е. зависимость координат х,у и проекций вектора скорости v_x и v_y центра мяча от времени. В качестве оценки точности броска ∆ можно рассматривать величину расстояния по горизонтали (вдоль оси х) от центра корзины до центра мяча в момент, когда последний пересекает горизонтальную плоскость, проходящую через плоскость кольца корзины.

Концептуальная постановка задачи: определить закон движения материальной точки массой м под действием силы тяжести, если известны начальные координаты точки х₀ и у₀, ее начальная скорость v₀ и угол бросания . Центр корзины имеет координаты х_к и у_к. Вычислить точность броска , где определяется из условий .

Гипотеза о том что, что мяч можно считать материальной точкой, широко применятся для иследования движений тел.

Гипотезу о применимости в данном случае законов классической механики можно обосновать огромным экспериментальным материалом, связанным с изучением движения тел вблизи поверхности Земли со скоростями много меньше скорости света.

Гипотеза о движении мяча в плоскости, перпендикулярной поверхности Земли, ограничивает класс рассматриваемых траекторий и значительно упрощает модель.

Гипотеза об отсутствии влияния сопротивления воздуха наименее обоснована. При движении тела в газе или жидкости сила сопротивления увеличивается с ростом скорости движения. Учитывая невысокие скорости движения мяча, его правильную обтекаемую форму и мнимые дальности бросков, указанная гипотеза может быть принята в качестве первого приближения.