Решение:

Решение ДУ находится в виде ряда Тейлора (Маклорена):

где точка x = a определяется из начальных условий (в данном случае, а = 1).

Значения функции и ее производных для ряда Тейлора находятся из начальных условий непосредственно для первых членов и для остальных членов путем последовательного дифференцирования исходного ДУ, разрешенного относительно старшей производной и вычисленной в точке x = a. Для тех значений x, для которых получившийся ряд сходится, он представляет решение ДУ:

y (a) = y (0) = 1; y ^/ (a) = y ^/ (0) = 0³ +1² – e⁰ = 0 + 1 −1 = 0;

y ^// (x) = 3 ∙ x + 2 ∙ y ∙ y ^/ − e^x; y ^// (0) = 3 ∙ 0 + 2 ∙ 1 ∙ 0 – e⁰ = 0 + 0 − 1= −1;

y ^///(x) = 2 + 2 ∙ y ^/ ∙ y^/ + 2 ∙ y ∙ y ^// − e^x ;

y ^///(0) = 2 + 2 ∙ 0 ∙ 0 + 2 ∙ 1 ∙ (−1) − e⁰ = 2 + 0 − 2 − 1 = − 1;

y^(IV) (x) = 2 + 2 ∙ 2 ∙ y ^/ ∙ y^// + 2 ∙ y^/ ∙ y^// + 2 ∙ y ∙ y^/// − e^x = 2 + 6 ∙ y ^/ ∙ y^// + 2 ∙ y ∙ y^/// − e^x

y^(V) (x) = 6 ∙ (y^//)² + 6 ∙ y^/ ∙y ^/// + 2 ∙ y^/ ∙ y^/// + 2 ∙ y ∙ y^(IV) − e^x =

= 6 ∙ (y^//)² + 8 ∙ y^/ ∙y ^/// + 2 ∙ y ∙ y^(IV) − e^x

В данном случае трудно установить закономерность, позволяющую записать выражение в общем виде для n-го члена ряда. Если такая закономерность выявляется, то можно определить радиус сходимости заданного ряда: и если получаем то значит полученное решение ДУ будет справедливо для всех х.

В данном случае решение записывается виде:

:

ОТВЕТ:

Задача № 424. В ящике имеется 12 деталей, из которых 5 деталей нестандартны. Сборщик наудачу извлекает из ящика 4 детали. Какова вероятность того, что все они будут нестандартны?

Решение:

Всего имеем 12 деталей. Число n всевозможных исходов (т.е. способов, которыми можно выбрать 4 детали из 12 равно числу сочетаний

Число m возможных сочетаний, что все детали нестандартные:

Нестандартные (4 из 5):

Тогда искомая вероятность определяется как отношение числа благоприятных исходов к числу всех возможных исходов, т.е.:

ОТВЕТ:

Задача № 444. В некотором водоеме карпы составляют 80%. Найти вероятность того, что из 5 выловленных в этом водоеме рыб окажется: а) 4 карпа; б) не менее 4 карпов.

Решение:

Используем формулу Бернулли: вероятность того, что в независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна событие наступит раз (безразлично, в какой последовательности), равна

По условию:

а) 4 карпа:

б) не менее 4 карпов:

Не менее 4-x карпов означает, что из 5-ти выловленных в этом водоеме рыб: 4 или 5 карпов.

Последовательно находим:

И по теореме сложения вероятностей искомая вероятность равна

ОТВЕТ:

Задача № 464

Найти: 1) Математическое ожидание 2) Дисперсию

3) Среднее квадратическое отклонение

Решение:

Дан закон распределения случайной величины Х:

Х	12	16	19	21
р	0,1	0,5	0,3	0,1

● Проверка выполнения условия нормировки:

♣ Математическое ожидание:

♣ Дисперсия:

♣ Среднее квадратическое отклонение:

Задача № 484. Случайная величина Х задана функцией распределения вероятностей F(X). Найти: а) вероятность попадания случайной величины Х в интервал б) плотность распределения вероятностей случайной величины Х; в) математическое ожидание г) дисперсию