Решение:
Строим область интегрирования D:
Область является правильной в направлении оси Oy (пересекается прямыми, проходящими через область D и параллельными оси Oy, только в двух точках) и ограничена линиями:
Тогда площадь области D может быть вычислена по формуле:
Так как область D – правильная, то двойной интеграл может вычислен двумя способами:
Чтобы вычислить интеграл, проходя область D в направлении оси OY, воспользуемся формулой
Чтобы вычислить интеграл, проходя область D в направлении оси OX, воспользуемся формулой
Тогда площадь области D может быть вычислена по формуле:
ОТВЕТ: S = 6 (ед.2)
(ПРОВЕРКА: в обоих случаях получили одинаковый результат – т.к. площадь одна и та же)
Задача № 284. Криволинейный интеграл
(*)
Решение:
Построим линию, по которой надо вести интегрирование:
1) L − отрезок прямой ОС
Записываем уравнение прямой ОС как уравнение прямой, проходящей через точки О и С:
Воспользуемся формулой
Находим:
2) L
− дуга параболы
Воспользуемся формулой
Находим:
3) L − ломаная ОАС
3) L − ломаная ОВС
ПРОВЕРКА:
3)
и 4) – одинаковый результат: J=90,
т.к. криволинейный интеграл здесь не
зависит здесь от пути интегрирования:
Задача № 304. Найти общее решение дифференциального уравнение первого порядка
(*)
Решение:
Решаем
однородное уравнение:
Разделяем переменные и интегрируем:
Потенцируем:
Варьируем
С: С=С(х):
(**)
Тогда
Подставим
и
в исходное уравнение и найдем С(х):
Интегрируем по частям:
Положим
тогда
Применяя формулу интегрирования по частям, находим:
Таким образом, общее решение исходного уравнения (*) имеет вид (**):
ПРОВЕРКА:
(*)
(*)
ОТВЕТ:
Задача № 324. Найти частное решение дифференциального уравнение второго порядка с начальными условиями
(*)
Решение:
Так как в уравнение (*) не входит функция
y, то понизим порядок уравнения,
взяв за новую неизвестную функцию низшую
из производных, входящих в уравнение,
т.е. сделаем замену:
Тогда
и уравнение (*) принимает вид:
(**)
Решаем однородное уравнение:
Разделяем переменные и интегрируем:
Варьируем С:
(***)
Подставим
и
в (**) и определим
Для определения С1 и С2 используем начальные условия:
ПРОВЕРКА:
(*):
ВЕРНО!
ОТВЕТ:
Задача № 344. Дано линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Найти частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям
(*)
Решение:
Решаем
однородное уравнение:
(**)
Ему
соответствует характеристическое
уравнение:
Решение однородного линейного уравнения (**) имеет вид:
Тогда решение исходного уравнения (*) ищем методом вариации постоянных в виде:
Функции
определяются из системы:
Находим:
Разрешаем уравнение (2):
(3)
Теперь из уравнения (1) находим:
Тогда решение исходного уравнения (*) имеет вид:
Для определения постоянных С1 и С2 используем начальные условия:
Таким образом, частное решение исходного уравнения (*) имеет вид
