14. Дискретті кездейсоқ шама а) үлестірілім заңы б) қасиеттері в) үлестірілім түрлері

Егер кездейсоқ шамасының үлестірім заңы қатынаспен анықталса, онда мұндай кездейсоқ шаманы дискретті кездейсоқ шама деп атаймыз. Басқаша айтқанда дискретті кездейсоқ шама дегеніміз қабылдайтын мәндерінің жиыны ақырлы не саналымды жиын болатын кездейсоқ шама: .

Мысалдары: Бернуллилік кездейсоқ шама

, , . Геометриялық кездейсоқ шама.

, .. Гипергеометриялық кездейсоқ шама. , .Пуассондық кездейсоқ шама. ,

Егер кездейсоқ шамасы үшін теріс емес функциясы табылып, оның үлестірім функциясы , ,

интегралы түрінде жазылатын болса, онда мұндай абсолютті үзіліссіз үлестірім функциясына сәйкес келетін кездейсоқ шаманы абсолютті үзіліссіз кездейсоқ шама деп, ал функциясын оның үлестірім тығыздығы д.а. функциясының үзіліссіздік нүктелерінде қатынасы орындалады және кез келген үшін формуласы М:Параметрі ға тең көрсеткіштік(экспоненциалды) кездейсоқ шама. Мұндай кездейсоқ шаманың үлестірім функциясы

қатынасымен анықталады (F1, F2, F3 – қатынастары орындалатыны айқын), ал оның тығыздығы

15. Үзіліссіз кездейсок шама а) үлестірілім функциясы б) тығыздығы в) үзіліссіз кездейсоқ шама түрлері

Х кездейсоқ шамасы қабылдайтын мәндер шекті немесе шексіз интервалдың барлық мәндерін қабылдаса ол үзіліссіз кездейсоқ шама деп аталады.Х кездейсоқ шамасының үлестірім функциясы F(x) деп Х˂х теңсіздігінің орындалу ықтималдығын айтады. F(x)=P(X˂x) Қасиеттері: 1. Үлестірім F(x) функциясы оң, шектелген функция, яғни 0≤F(x)≤1. Бұлай болу себебі ол F(x) = P(X˂x) теңдігі бойынша ықтималдықты көрсетеді. Оның графигі y=0, y=1түзулері арасында орналасқан. 2. Үлестірім функциясы кемімейтін функция, яғни x₁˂x₂ болғанда F(x₁) ≤ F(x₂) болады. Шынында да x˂β оқиғасын x˂α және α≤x˂β оқиғаларының қосындысы деп қарастыруға болады. Сондықтан P(x˂β)=P(x˂α)+P(α≤x˂β) P(α≤x˂β)=P(x˂β)-P(x˂α), P(α≤x˂β)=F(β)–F(α) (1) теңдігін аламыз. (1) теңдігін [x₁,x₂) аралығына қолдансақ, P(x₁≤x˂x₂)=F(x₂)–F(x₁) бұл теңдіктің сол жағы оң сан P(x₁≤x˂x₂)≥0 демек F(x₂)– F(x₁)≥0, F(x₂)≥F(x₁). 3. Егер X кездейсоқ шамасының қабылдайтын мәндері тек (a,b) аралығында болса, x˂a мәндерінде F(x)=0 және x˃b мәндерінде F(x)=1 болады. Жалпы жағдайда, F(- =0, F(+ =1 болады деп есептеледі.

Х кездейсоқ шамасының үлестірім тығыздығы f(x) деп үлестірім F(x) функциясының туындысын айтады. =F^’(x)=f(x). Яғни үлестірім тығыздығы үлестірім функциясының туындысына тең. f(x)=F^’(x)Қасиеттері: 1. Үлестірім тығыздығы теріс емес функция, себебі ол кемімейтін F(x) функциясының туындысына тең f(x)=F^’(x)≥0.2. Үлестірім функциясы үлестірім тығыздығы арқылы былай өрнектеледі F(x) = , шынында f(x)dx=dF(x) болғандықтан = =F(x) = F(x) – F(- = F(x).

3. Кездейсоқ шаманың үлестірім тығыздығы f(x) болса, онда P(a ≤ X ˂ b) = Шынында P(a ≤ X ˂ b) = F(b) – F(a) = - = + = .

16. Биномдық және Бернулли кездейсоқ шамалары а) үлестірілім заңдары б) математикалық күтімі мен дисперсиясын қорытып шығару

{P( ),P( ),P( ),…,P( ) ықтималдықтарының жиынтығы биномдық үлестірім деп аталады. (n,p) параметрмен үлестірілген кездейсоқ ξ шамасы теріс биномиалды үлестірілген болады , егер Үлестірім функциясы: Бернуллидің тәуелсіз сынақтар тізбегінде n-ші табыс n+k-ші сынақта пайда болуының ықтималдығын табайық. (“табыс” ықтималдығы р).Егер n-ші табыс n+k-ші сынақта пайда болса, онда ең соңғы n+k-ші сынақта “табыс” (А оқиғасы), ал одан бұрынғы n+k-1 сынақта n-1 рет “табыс”, k рет “сәтсіздік” болды(В оқиғасы) деген сөз. Сынақтар тәуелсіз болғандықтан іздеп отырған ықтималдығымыз мына формуламен анықталады. (k=0,1,2,…. (1)-үлестірім теріс биномиальды үлестірім деп аталады. Бұл үлестірімнің атауы мына теңдікке байланысты шыққан:

Соңғы теңдік (1)-үлестірімді басқаша жазуға мүмкіндік береді: (1’)

Бұдан

Пайдаланып былай жаза аламыз:

Яғни { }шындығындада үлестірім болады. Теріс биномиалды үлестірімді кейде Паскаль үлестірімі деп те атайды.

Ал n=1 болған кезде (1)-үлестірім геометриялық үлестірім деп аталады: