11. Бернулли схемасы а) бернулли формуласы б) ең ықтимал табыс саны үшін теңсіздікті қорытып шығару

Екі қарапайым нәтижесі бар сынақ берілсін, яғни екі элементар оқиғасы бар. Бір элементар оқиғаны «1» арқылы белгілеп, «табыс» деп аталсын. Екінші оқиғаны «0» арқылы белгілеп, «сәтсіздік» деп аталсын. Сонда элементар оқиғалар кеңістігі Ω={0;1} P(1)=p (1) P(0)=q, (0<p<1, q=1-p) p саны табыс ықтималдығы деп, ал q – сәтсіздік деп аталады. (1) сынағын n рет тәуелсіз қайталау моделі:

Ω={ω=( P=(ω=( )=P( ) (2)

(2) моделін Бернулли схемасы деп атайды. Сонымен Бернулли схемасы дегеніміз – екі нәтижелі сынақты n рет тәуелсіз қайталаудың моделі. Теорема. (Бернулли формулалары). (2) моделіндегі әрбір ω=( элементар оқиғасы үшін болсын(табыстар саны). Онда

үшін (3)( n рет тәуелсіз қайталағанда дәл рет табыс шығуының ықтималдығы) үшін (4)( n рет тәуелсіз қайталағанда шыққан табыстар саны арасында болуының ықтималдығы)Мысал.Тиынды бес рет лақтырғанда үш рет гербтің түсу ықтималдығын табыңыз.Шешуі. ЕНС моделі – тиынды бір лақтыру Ω={0;1} «1» - «герб» «0» - «цифр»

Қайталау саны n=5 Табыстар саны

Онда (3) бойынша

Бернулли схемасындағы ең ықтимал табыс саныБернулли схемасы үшін тәжірибені n рет қайталған кезде дәл k рет табыс болу ( оқиғасы) ықтималдылығы

ықтималдылықтарының жиынтығы биномдық үлестірім (Көлемі n-ге тең таңдамадағы табыс санының биномдық үлестірімі) деп аталады.

Анықтама. k-ның функциясы ретінде ықтималдылығы ең үлкен мәнін қабылдайтын мәні ең ықтималды табыс саны деп аталады.

Анықтамадан және жоғарыда айтылғандардан мынадай қорытынды шығады: Егер (n+1)p бүтін сан болмаса,онда , мұндағы санының бүтін бөлігі; Егер де (n+1)p бүтін сан болса, онда ең ықтимал табыс саны екеу. және .

Бернуллидің тәуелсіз сынақтар тізбегі үшін:

а)бірде-бір рет табыс болмау;

ә)ең болмағанда бір рет табыс болу;

б)табыс санының -ден кем емес, -ден артық емес болу ықтималдылықтары;

12. Пуассонның жуықтау формуласы а) Пуассон теоремасы

Пуассон теоремасы. А оқиғасының әрбір сынауда пайда болу ықтималдығы болса ( -тұрақты және п-нен тәуелсіз), онда өзара тәуелсіз п сынаудан құрылған серияда А оқиғасының дәл т рет пайда болу ықтималдығы яғни ; мұндағы .

13. бернулли схемасындағы шектік теоремалар а) Муавр –Лапластың жергіліктік ж\е интегралдық теоремалары

Муавр-Лапластың шектік интегралдық формуласы теория мен практикада ерекше орын алады. Алдымен мынадай қасиеттерін келтірейік:

1⁰. Д/уі: теңсіздігін өзіне пара-пар теңсіздіктермен ауыстыруға болады, бірақ бұдан ықтималдық мәні өзгермейді. Сонда , не болады. Бұдан .Сонда

,

2⁰. Д/уі: теңсіздігінен екені шығады. Олай болса, орнына -ді қойып, 1⁰-қасиеттен (9)-формуланы аламыз. Енді мынадай енгізулер жүргізейік: мұндағы р-ны сенімділік ықтималдық (доверительная вероятность или надежность), п-ді сынау (таңдама көлемі), -ді абсолюттік қате (дәлдік) деп атайық.