8. Ықтималдықтарды қосу формуласы а) кез-келген екі оқиға үшін қосу формуласын дәлелдеу б) кез-келген үш оқиға үшін қосу формуласын дәлелдеу в) қолдану мысалдары

Қосу теоремасы Үйлесімсіз А және В оқиғаларының қосындысының ықтималдығы олардың ықтималдықтардың қосындысына тең, яғни

Д/уі:Теореманы дәлелдеу үшін теңдіктегі үш ықтималдықты есептеп, ол мәндерді теңдікке қойып, оның дұрыстығына көз жеткізу жеткілікті.Қосудың кеңейтілген теоремасы Егер А₁, А₂, ...,А_п қос-қостан үйлесімсіз оқиғалар болса, онда бұлардың қосындысының ықтималдығы олардың әрқайсысының ықтималдықтарының қосындысына тең болады, яғни

1-салдар. Оқиғалардың толық тобын құрайтын қос-қостан үйлесімсіз сынау нәтижелері ықтималдықтарының қосындысы бірге тең.

2-салдар. Қарама-қарсы екі оқиға ықтималдықтарының қосындысы бірге тең, яғни

9. Оқиғалардың тәуелсіздігі а) тәуелсіз оқиғалардың қасиеттерін дәлелдеп көрсетіңіз б) қос-қостан және жиынтық тәуелсіздік в) Бернштейм мысалы г) өзара үйлесімді бірақ тәуелсіз оқиғалар

Егер болатын болса, онда оқиғасы оқиғасынан тәуелсіз деп айту қисынды. Тәуелсіздік ұғымы (екі оқиға үшін) симметриялы ұғым егер -дан тәуелсіз болса, онда -да -дан тәуелсіз, яғни ( әрине, мұнда ). Бірақ, егер, мәселен болса, онда шартты ықтималдығын анықтай алмаймыз.Дегенмен бұл жағдайда -ның -дан тәуелсіздігінің салдары болатын қатынасы орындалады, сондықтан осы шартты оқиғалардың тәуелсіздігінің анықтамасы ретінде аламыз.2-анықтама. Егер ықтималдық кеңістігіндегі оқиғалары үшін олардың көбейтіндісінің ықтималдығы олардың ықтималдықтарының көбейтіндісіне тең болса, яғни қатынасы орындалса, онда және оқиғалары (екеуара) тәуелсіз оқиғалар деп аталады.3-анықтама.Егер кез келген , үшін

шарттары орындалса, онда оқиғалары жиынтықта тәуелсіз оқиғалар деп аталады.

10.Оқиғалардың толық тобы а) толық ықтималдықтар формуласы б) байес формуласы

Н₁, Н₂, ...,Н_п оқиғалары қос-қостан үйлесімсіз оқиғалардың толық тобын құрайтын болсын. Ал В оқиғасы осы оқиғалардың тек біреуімен ғана бірігіп орындалады дейік. Оның үстіне р(Н₁), р(Н₂), ...,р(Н_п) және ықтималдықтары белгілі болсын. Осы берілгендер бойынша В оқиғасының ықтималдығын анықтауға бола ма және ол неге тең деген сұрақ туады. Мұның жауабын ықтималдықтың толық формуласы береді Н₁, Н₂, ...,Н_п қос-қостан үйлесімсіз болғандықтан, оқиғалары да қос-қостан үйлесімсіз. Олай болса, бұл оқиғаларға қосу теоремасын қолдануға болады. Сонда Көбейту теоремасы бойынша

Демек, н\е жоғарыдағы берілгендері бойынша В-нің ықтималдығын осы (2) формуламен анықтайды. Бұл формуланы ықтималдықтардың толық формуласы деп атайды. Н₁, Н₂, ...,Н_п оқиғаларын гипотезалар (болжамдар) деп атайды.

Байес формуласы Тәжірибе жүргізілді делік, соның нәтижесінде В оқиғасының пайда болғаны анықталды, енді осы В оқиғасының пайда болуына байланысты Н₁, Н₂, ...,Н_п гипотезаларының ықтималдығын қайта қарауға тура келеді. Яғни ықтималдықтар мәнін анықтауға тіреледі. Бұл ықтималдықты анықтау үшін, көбейту теоремасы мен ықтималдықтардың толық формуласын пайдаланамыз.Тәуелді оқиғалар В мен үшін Бұдан

шығады. Бұл формулаға толық ықтималдық формуласынан мәнін қойсақ, онда