5.Геометриялық модельдер а) ықтималдықтың геометриялық анықтамасы б) элементар оқиғалары тең мүмкіндікті болмайтын сынақ мысалы

Ω-n өлшемді эвклидтік кеңістігінде n өлшемді ақырлы көлемі mes( ,бар шенелген жиын, ал β жүйесі Ω-ның өлшемі анықталатын барлық ішкі жиындарының жүйесі болсын. Онда А€β оқиғасы үшін оның ықтималдығы былай анықталады: P(A)= , мұндағы - А жиынының өлшемі. Ықтималдықты осы формула арқылы шешуді ықтималдықтың геометриялық анықтамасы д.а. көптеген есептерде ықтималдық -дегі геометриялық фигуралардың «көлемдерінің» (n=1 болса-ұзындық, n=2 болса аудан, n=3 болса-көлем) қатынастары ретінде анықталады. Мұндай жағдайда бейнелі түрде «нүкте қандай да бір жиынға кездейсоқ лақтырылған», «нүкте қандай да бір жиында бірқалыпты үлестірілген»деп айтады да нүктенің жиынның қандай да бір бөлігінен кездейсоқ алынуы сол бөліктің көлеміне пропорционал болады деп есептейді. Мысалы: [0,T] уақыт аралығынан кездейсок х уақыт сәтінде ұзындығы ∆-ға тең сигнал пайда болады. Қабылдағыш кездейсоқ y€[0,T]сәтінде t уақытқа іске қосылады. Қабылдағыштың сигналды аңғару ықтималдығы неге тең? Шешуі: Ω= {(x,y):0 x,y T}=[0,T]×[0,T] егер алдымен сигнал пайда болатын, сосын қабылдағыш іске қосылатын яғни x y болса, онда сигнал y-x болған жағдайда ғана аңғарылады. Сол сияқты, егер y x болса, онда сигналды y болған жағдайда ғана аңғаруға болады. Сонымен A= {(x,y) P(A)= ,= бұдан егер болса, онда P(A)= =1-

6. Ықтималдықтар теориясының аксиомалары а)ықтималдықтың аксиоматикалық анықтамасы б)ықтималдықтың қасиеттері

Анықтама. өлшенетін кеңістігі, мұндағы -элементар оқиғалар кеңістігі, -ның ішкі жиындарының қандай да бір алгебрасы берілсін. Онда ( ) кеңістігінде анықталған ықтималдық (ықтималдықтық өлшем, ықтималдықтық функция) деп -дағы жиындарда ( -алгебрасында) анықталған, сандық мәндер қабылданған және мына P1. Кез келген үшін P2. P3. Егер оқиғалар тізбегі екеуара үйлеспейтін және болатын оқиғалар тізбегі болса, онда шарттарын қанағаттандыратын функциясын айтамыз. Егер -алгебра болса, онда анықтамадағы шарты анық (ол міндетті түрде орындалады).Ықтималдықтар теориясында P1-қасиеті ықтималдықтың теріс еместік қасиеті, P2- қасиеті – нормаланғандық қасиеті, ал P3-қасиеті - - аддитивтілік қасиеті деп аталады. Көбіне «қасиеті» сөзінің орнына «аксиома» сөзі қолданылады үштігі, мұндағы -алгебра, кеңістігінен ықтималдық кеңістігі деп аталады.

)үштігі, мұндағы -алгебра, ықтималдық кеңістігі деп аталады.

ықтималдықтар теориясының аксиомаларын алғаш рет XX-ғасырдың 20-жылдарының соңында орыстың ұлы ғалымы А.Н.Колмогоров тұжырымдаған.Енді P1- P3 аксиомаларынан шығатын ықтималдықтың кейбір қасиеттері . Бұл қасиет және P2, P3 -қасиеттері бойынша болатындығының салдары. . Себебі , онда P2, P3 қасиеті бойынша . .Егер болса, онда .

Шындығында да бұл жағдайда (себебі ). . Кез келген А оқиғасы үшін .

Себебі болғандықтан P1, P2-аксиомалары және -қасиет бойынша . Бұл жағдайда . Онда P3-аксиома бойынша

. (ықтималдықтарды қосу формуласы).

Бізде . Онда P3 және қасиеттерінен

7.Шартты ықтималдық  А)Ықтималдықтарды көбейту формулалары  Б)Үш оқиға үшін көбейту формуласын дәлелдеп көрсетіңіз  В)Шартты ықтималдықтың қасиеттерін дәлелдеңіз  А) P(A/B)=(P(AB))/(P(B)) (1) формула кез келген А∈F анықталған үшін P(A/B) В оқиғасы орындалған кездегі А оқ-ның шартты ықтималдығы д/а. Айталық, n сынақ нәтижесінде А,В және АВ оқиғалары сәйкес n(A),n(B),n(AB) рет пайда болған болсын.Онда, егер В оқиғасы пайда болғаны белгілі болса онымен бірге А оқиғасының пайда болуының шартты салыстырмалы жиілігі (n(AB))/(n(B)) арқылы анықталады. Егер жиіліктің орнықталық қасиеті орындалса,онда (n(A))/n≈P(A), (n(B))/n≈P(B), (n(AB))/n≈P(AB) Және P(В)˃0 болса, шартты салыстырмалы жиілік те орнықты және(n(AB))/(n(B)) =(n(AB)/n)/(n(B)/n) ≈(P(AB))/(P(B))  Шартты P(·/B) ықтималдығының қасиеттері Р(·) ықтималдығының қасиеттеріне ұқсас:  P(Ω/B)=1, P(Ᾱ/B)=1-P(A/B)  P(A1+A2+…/B)=P(A1/B)+P(A2+B)+…,  P(AUC/B)=P(A/B)+P(C/B)-P(AC/B)  Соңғы қасиетті дәлелдейік Анықтама бойынша  P(AUC/B)=(P((AUC)B))/(P(B))=(P(ABUCB))/(P(B))=(P(AB)+P(BC)-P(ACB))/(P(B))= P(A/B)+P(C/B)-P(AC/B)  Жоғарыда АВUСВ оқиғасының ықтималдығын табу үшін ықтималдықтарды қосу формуласын пайдаландық  Ескерту. Жалпы жағдайда P(A/B)+P(A/Bкері)≠1 P(A/B)+P(Aкері/Bкері)≠1  Формуладан ықтималдықтарды көбейту формуласы деп аталатын  P(AB)=P(B)P(A/B) формуласын аламыз.