9.2. Метод Пікара

Метод Пікара дозволяє отримати наближене рішення диференціального рівняння (9.1) у вигляді функції, що подається аналітично. Метод Пікара виник у зв’язку з доведенням теореми існування та єдності рішення рівняння (9.1) і є, по суті, одним із застосувань принципу стискуючих відображень.

Нехай в умовах теореми треба знайти рішення рівняння (9.1) з початковою умовою (9.2). Проінтегруємо обидві частини рівняння (9.1) від х₀ до х:

або

(9.5)

Зрозуміло, рішення інтегрального рівняння (9.5) буде задовольняти диференціальному рівнянню (9.1) і початковій умові (9.2). Дійсно, при х = х₀ отримуємо

Разом з цим інтегральне рівняння (9.5) дозволяє застосувати метод послідовних наближень. Візьмемо у = у₀ і отримаємо з (9.5) перше наближення:

Інтеграл в правій частині містить тільки змінну х; після знаходження цього інтегралу буде отримано аналітичний вираз наближення як функції змінної х. Замінимо тепер в рівнянні (9.5) у найденим значенням і отримаємо друге наближення:

і т. д. У загальному випадку ітераційна формула має вигляд:

(9.6)

Циклічне застосування формули (9.6) дає послідовність функцій

(9.7)

Оскільки функція f неперервна в області G, то вона обмежена в деякій області , що містить точку тобто

(9.8)

Застосовуючи до рівняння (9.6) в умовах теореми існування принцип стискаючих відображень, неважко показати, що послідовність (9.7) є збіжною. Її ліміт є розв’язанням інтегрального рівняння (9.6), а отже, і диференціального рівняння (9.1) з початковою умовою (9.2). Це означає, що k-й член послідовності (9.7) є наближенням до точного рішення рівняння (9.1) з визначеним ступенем точності.

Оцінка похибки k-го наближення дається формулою

де М – константа Ліпшиця (9.4), N – верхня грань модуля функції f із нерівності (9.8), а величина d для визначення околу розраховується за формулою

9.3. Метод Ейлера

В основі методу ламаних Ейлера лежить ідея графічної побудови рішення диференціального рівняння, проте цей метод надає одночасно і спосіб знаходження шуканої функції в числовій (табличній) формі.

В околі точки х₀ функцію розкладемо в ряд Тейлора

(9.9)

який можна застосувати для наближеного визначення шуканої функції . В точці при малих значеннях кроку h можна обмежитися двома членами ряду (9.9), тоді

де – нескінченно мала величина порядку .

Замінимо похідну , що входить до формули (9.9), на праву частину рівняння (9.1), будемо мати

(9.10)

Тепер наближене рішення в точці можна знову розглядати як початкову умову і за формулою (9.10) знайти значення шуканої функції в наступній точці . В результаті отримано простіший алгоритм розв’язання задачі Коші, який називається методом Ейлера.

Підійдемо до цього методу з дещо іншого боку – з боку геометричної інтерпретації. Нехай дано рівняння (9.1) з початковою умовою (9.2). Вибравши достатньо малий крок h, побудуємо, починаючи з точки х₀, систему рівновіддалених точок . Замість шуканої інтегральної кривої на відрізку розглянемо відрізок дотичної до неї в точці (позначимо її L₁, рис. 9.2) з рівнянням .

П ри х = х₁ з рівняння дотичної L₁ отримуємо звідки видно, що приріст значення функції на першому кроці має вигляд:

Аналогічно провівши дотичну L₂ до деякої інтегральної кривої сім’ї в точці , отримаємо:

що при х = х₂ дає тобто у2 виходить з у1 додаванням приросту

Таким чином, отримання таблиці значень шуканої функції за методом Ейлера полягає в циклічному застосуванні пари формул:

Зазначимо, що метод Ейлера ще називають методом ламаних.

Методу Ейлера притаманна мала точність, до того ж похибка кожного нового кроку, взагалі кажучи, систематично зростає. Найбільш прийнятним для практики методом оцінки точності є в даному випадку спосіб подвійного рахунку – з кроком h і з кроком h / 2. Збіг десяткових знаків в отриманих двома способами результатах дає підстави вважати їх вірними.

Існують різні способи уточнення методу Ейлера, які дозволяють підвищити його точність. Модифікації методу спрямовані на те, щоб більш точно визначати напрямок переходу з точки в точку . Метод Ейлера – Коші, наприклад, рекомендує наступний порядок розрахунків:

Геометрично це означає, що визначається напрямок інтегральної кривої в вихідній точці до допоміжної точки , а остаточно береться середнє цих напрямків.