Лекція № 9
9. Числове інтегрування звичайних диференціальних рівнянь
9.1. Поняття про диференційне рівняння. Задача Коші
Диференціальні рівняння широко застосовуються для математичного моделювання процесів і явищ в різних галузях науки і техніки. Перехідні процеси в електротехнічних ланцюгах, рух космічних об’єктів, кінетика хімічних реакцій і т. д. досліджуються за допомогою диференціальних рівнянь.
Нагадаємо, що рівняння, в якому невідома функція входить під знаком похідної чи диференціала, називається диференціальним рівнянням. Наприклад,
Якщо невідома функція, яка входить до диференціального рівняння, залежить тільки від однієї незалежної змінної, то диференціальне рівняння називається звичайним.
Наприклад,
Якщо ж невідома функція, що входить до диференціального рівняння, є функцією двох або більшої кількості незалежних змінних, то диференціальне рівняння називається рівнянням в частинних похідних.
Так, диференціальне рівняння
є рівнянням в частинних похідних.
Порядком диференціального рівняння називається найвищий порядок похідної, що входить до рівняння.
Так, наприклад, рівняння
є рівняння другого порядку, а рівняння
– першого порядку.
Найпростішим звичайним диференціальним рівнянням є рівняння першого порядку наступного вигляду
.
(9.1)
Основна задача, пов’язана з
цим рівнянням, відома як задача Коші:
знайти розв’язання рівняння (9.1) у
вигляді функції
,
яка задовольняє початковій умові
(9.2)
Г
еометрично
це означає (рис. 9.1), що треба знайти
інтегральну криву
що проходить через задану точку
при виконанні рівності (9.1). Доведено,
що рішення існує і воно є єдиним.
Теорема Пікара. Якщо функція f визначена і неперервна в деякій області G та визначається нерівностями
(9.3)
а також задовольняє в цій області умові Ліпшиця по у:
то на деякому відрізку
де h
– додатне число, існує, і притому тільки
єдине, рішення
рівняння (9.1), що задовольняє початковій
умові
Тут М
– стала величина (константа Липшиця),
яка залежить в загальному випадку від
а і b.
Якщо
має обмежену в G
похідну
,
то при
можна прийняти
(9.4)
В класичному аналізі розроблено чимало прийомів знаходження рішень диференційних рівнянь через елементарні (або спеціальні) функції. Але дуже часто при розв’язанні практичних задач ці методи виявляються зовсім безпорадними, або їх розв’язання пов’язано з неприпустимими витратами зусиль і часу.
За цією причиною для розв’язання задач практики створені методи наближеного розв’язання диференціальних рівнянь. Вельми умовні ці методи можна розділити на три групи.
1. Аналітичні методи, застосування яких дає розв’язання диференціального рівняння у вигляді аналітичного виразу.
2. Графічні методи, які дають наближене рішення у вигляді графіка.
3. Числові методи, коли шукана функція виходить у вигляді таблиці.
Далі будуть розглядатися деякі методи розв’язання диференціальних рівнянь першого порядку вигляду (9.1).
Що стосується диференціальних рівнянь n-го порядку
для яких задача Коші, пов’язана
з находженням рішення
,
що задовольняє початковим умовам
де
– задані числа, то їх можна
звести до системи диференціальних
рівнянь першого порядку. Так, наприклад,
рівняння другого порядку
можна записати у вигляді системи двох рівнянь першого порядку:
Методи розв’язання систем звичайних диференціальних рівнянь базується на відповідних методах розв’язання одного звичайного диференціального рівняння.