2.2. Математические модели сигналов и помех Временная структура сигналов.

Рассмотрим вначале сигнал, принятый антенной с 6есконечно малой апертурой. В соответствии выражением (2.1), полагая , получаем . Такой сигнал характеризует временную структуру принимаемых процессов.

Обычно на практике используют сигналы, спектральные компоненты кото­рых сосредоточены в частотном диапазоне . Часто

где – центральная частота, обычно являющаяся несущей.

Такие сигналы называются узкополосными во временном смысле и могут

быть представлены в виде

,

где и – законы амплитудной и фазовой модуляции сигнала соответственно; – начальная фаза.

Представим

,

где A – величина, характеризующая интенсивность сигнала;

– нормированная функция, описывающая закон амплитудной мо­дуляции.

Запишем нормированный сигнал в виде

.

Средняя мощность сигнала длительностью Т равна

,

и если положить, что имеет единичную среднюю мощность, т.е.

, то .

Если , то , где Э – энергия сигнала.

На практике часто используют другие виды нормировки:

если то и если ,

то .

Математические преобразования при решении задач обработки сигналов существенно упрощаются, если сигнал выразить через комплексную огибающую аналитического сигнала , которая содержит все информативные параметры сигнала при известной несущей частоте (средней частоте):

, (2.2)

где – комплексный сигнал, сопряженный с .

При теоретических исследованиях и практических реализациях часто используется представление узкополосного сигнала, основанное на квад­ратурном разложении

,

где – квадратурные составляющие комплексной огибающей.

Используя формулу Эйлера, комплексную огибающую можно записать в виде

,

т.е. квадратурные составляющие и представляют собой действительную и мнимую части комплексной огибающей . Широко ис­пользуемой математической моделью сигналов является их представление в дискретном времени в соответствии с теоремой Котельникова. Согласно этой теореме, любой сигнал с ограниченным спектром может быть разло­жен в ряд.

Для видеосигналов, спектр которых ограничен частотами , (где – верхняя частота в спектре), на ограниченном интервала времени Т может быть применено приближенное разложение по Котельникову, которое получается из точного простым усечением бесконечных сумм, т.е.

;

, (2.3)

,

где – отсчеты видеосигнала через интервал времени .

Разложение Котельникова для узкополосного сигнала, ширина спектра которого , может быть представлено в виде

, (2.4)

,

где и отсчеты и через интервал времени .

Разложение Котельникова для узкополосного сигнала можно записать, исполь­зуя аналитический сигнал, в следующем виде

. (2.5)

На основании выражения (2.2) разложение (2.5) можно представить в виде

, (2.6)

или в квадратурных составляющих

. (2.7)

Выражения (2.4)… (2.7) показывают, что сигнал при известной средней частоте может быть полностью описан отсчетами и или и через интервал .

Вместе с тем из (2.3) и (2.7) следует, что в отличие от видеосигнала здесь в каждый момент времени требуются два отсчета, которые согласно (2.5) могут быть представлены в виде комплексного числа

или в виде двумерного вектора

с действительными компонентами.

Общее количество отсчетов будет равно .

Комплексная огибающая сигнала может быть представлена

в виде m– мерного вектора с комплексными компонентами:

(2.8)

либо 2m–мерного вектора отсчетов

(2.9)

с действительными компонентами.

Для теоретических расчетов и практических реализаций вместо (2.5)

может быть использован векторный сигнал, вида (2.8) или (2.9).

В зависимости от наличия или отсутствия неизвестных параметров сиг­налов различают следующие модели:

а) детерминированные c полностью известными параметрами;

в) квазидетерминированные известной формы – с известными и , но с неизвестными начальной фазой и интенсивностью , интенсивностью и начальной фазой и т.д.;

в) случайные, у которых и представляют собой случайные процессы.