14. Жоғарғы ретті теңдеулер. Негізгі түсініктер

Жоғарғы ретті жəй дифференциалдық теңдеудің туынды бойынша шешілмеген түрі былай жазылады: )=0 (1) Мұндағы, x-тəуелсіз айнымалы, y-белгісіз функция, ал y',y ′′, - белгісіз функцияның туындылары (n>1) F - кейбір G ⊂ облысында анықталған нақты үздіксіз функция. Егер (1) қатынас жоғарғы туындысы бойынша шешілсе, онда былай жазамыз: ) (2) Мұндағы, f - функциясы кейбір D ⊂ облысында анықталған үздіксіз функция деп есептелінеді. Бұл теңдеулердің шешімдері де бірінші ретті теңдеулердің шешімдеріне ұқсас түрде анықталады. Анықтама-1.< a,b >аралығында анықталған y= ϕ(x) функциясы (2) теңдеудің осы аралықтағы шешімі деп аталынады, егер ол төмендегідей үш шартты қанағаттандырса: 1) ϕ (x) функциясы < a,b> аралығында n рет дифференциалданатын болса; 2) (x, ϕ (x), ϕ '(x), ... , 3) ϕ (x), ϕ '(x), ... , , Айқындалмаған (1) теңдеудің де шешімін осы түрде анықтауға болады. Жоғарғы ретті теңдеу үшін Коши есебі. Жоғарғы ретті теңдеу үшін Коши есебі былайша қойылады: (2) теңдеудің барлық шешімдерінің ішінен ϕ(x0)=y0, ϕ'(x0)= (3) шартын қанағаттандыратын шешімді табу керек. Мұндағы, x0,y0, сандарын бастапқы мəндер, ал (3) шартты бастапқы шарт деп атайды. Мұнда (x0,y0, Бұл жерде де Коши есебіне геометриялық, механикалық мəн беруге болады. Бірақ, теңдеудің реті жоғары болған сайын бастапқы шартқа мəн-мағына беру қиынға соғады. Мысалы, екінші ретті теңдеу үшін қойылған бастапқы екі мəннің біріншісі, шешімнің қай нүкте арқылы өтетінін білдірсе, екіншісі, интегралдық қисықтың сол нүктедегі жанамасының x өсімен жасайтын бұрыштың тангенсін білдіреді, ал механикалық жағынан – қозғалыстың берілген қалыптан қандай жылдамдықпен өтетінін білдіреді.

15. Интегралдаушы көбейткіш әдісі y ′+ p( x )y = q( x ) (1) Біртексіз (1) теңдеуге оралатын болсақ, оның жалпы шешімін табу үшін бірнеше əдістерді қолдануға болады. Солардың бірі интегралдаушы көбейткіш әдісі ( Эйлер әдісі) . Берілген біртексіз (1) теңдеудің екі жағын функциясына көбейтіп , ықшамдап

жазатын болсақ, онда мынандай қатынас аламыз : Осы қатынасты интегралдасақ: : ал бұдан жалпы шешім.

16. Реті төмендетілетін дифференциалдық теңдеулер. Түрлері. Ретін төмендету әдістері. Жоғарғы ретті дифференциалдық теңдеулерді айқындалмаған )=0 (1) теңдеу түрінде, немесе, жоғарғы туындысы бойынша шешілген ) (2) теңдеу түрінде жазуға болады. Енді осы теңдеулердің ретін қандай жағдайларда төмендетіп, интегралдауды оңайлатуға болатынын қарастырайық. 1. Тəуелсіз айнымалы айқын түрде кірмеген теңдеу: )=0 (3) Бұл жағдайда тəуелсіз айнымалы үшін y-ты аламыз да, y ′ =z(y) түрінде жаңа белгісіз енгіземіз. Сонда y''= y'''= )z=z( ) Бұдан F(y,z,zz',...., түріндегі теңдеу аламыз. Бұл (n−1)-ретті теңдеу. Егер осы теңдеуді интегралдау мүмкін болса, онда оның жалпы интегралы Ф( y,z, C1,...,Cn-1)=0 немесе Ф( y,y', C1,...,Cn-1)=0 түрінде болады. Соңғы қатынас бірінші ретті теңдеу. Сондықтан, оның аралық интегралы берілген (3) теңдеудің жалпы интегралы болады. 2. Белгісіз функция мен оның алғашқы туындылары кірмейтін теңдеу: ,...., Бұл жағдайда = z(x) белгілеуін енгізсек, ,...., (5) түріндегі (n− k) - ретті теңдеу аламыз. Демек, (4) теңдеудің реті k- бірлікке төмендеді. Егер соңғы теңдеудің Ф( x,z, C1,...,Cn-k)=0 түріндегі аралық интегралы белгілі болса, онда берілген теңдеудің жалпы интегралы f( x, C1,...,Cn-k) (6) теңдеуді интегралдау арқылы табылады. 3. Белгісіз функция мен оның туындылары бойынша біртекті теңдеу. Егер (1) теңдеудегі F функциясы үшін F(x,ty,ty',...., шарты орындалса, онда ол функция m дəрежелі біртекті функция деп аталынады да, сəйкес теңдеу функция мен оның туындылары бойынша біртекті деп аталынады. Бұл жағдайда y ′ =ty алмастыруы арқылы теңдеудің реті бір ретке төмендетіледі. Шынында да, y''=y't+yt' y'''=y'(

4. Теңдеудің сол жағы басқа бір функцияның туындысы болса, онда теңдеудің реті бір ретке төмендейді. 5. Жалпыланған біртекті теңдеу, яғни F функциясы үшін

17. n - ретті сызықты дифференциалдық теңдеулер

Жоғарғы ретті теңдеулердің ең қарапайымы жəне оңай зерттелетіні – сызықты теңдеулер . Белгісіз функция мен оның туындыларын сызықты түрде байланыстыратын теңдеулерді сызықты теңдеулер деп татйды . n - ретті сызықты теңдеудің жалпы түрі былай жазылады : a0(x) Мұндағы, ai ( x) (i=0,....,n),q(x) - функциялары кейбір <a,b >аралығында анықталған нақты үздіксіз функциялар . a0(x) болса , онда соған бөлу арқылы (1) теңдеуін аламыз . Соңғы түрдегі теңдеуді теңдеудің келтірілген , не қалыпты түрі деп атайды . Мұндағы, f ( x) функциясы бос мүше деп аталынады . Егер ол нөлге тең болмаса , (1) теңдеу біртексіз сызықты теңдеу деп , ал нөлге тең болса , біртекті сызықты теңдеу деп аталынады . (1) теңдеудің сəйкес біртектісі былай жазылады : (2) Əдетте , (1) теңдеудің сол жағын қысқартып , былай белгілейді : (3) Сонда (1) жəне (2) теңдеулерді былай жазуға болады : жəне (3) өрнекті сызықты дифференциалдық оператор деп атайды .

18. Сызықты дифференциалдық оператордың қасиеттері n - ретті сызықты теңдеудің жалпы түрі былай жазылады : a0(x) Мұндағы, ai ( x) (i=0,....,n),q(x) - функциялары кейбір <a,b >аралығында анықталған нақты үздіксіз функциялар . a0(x) болса , онда соған бөлу арқылы (1) теңдеуін аламыз . Соңғы түрдегі теңдеуді теңдеудің келтірілген , не қалыпты түрі деп атайды . Мұндағы, f ( x) функциясы бос мүше деп аталынады . Егер ол нөлге тең болмаса , (1) теңдеу біртексіз сызықты теңдеу деп , ал нөлге тең болса , біртекті сызықты теңдеу деп аталынады . (1) теңдеудің сəйкес біртектісі былай жазылады : (2) Əдетте , (1) теңдеудің сол жағын қысқартып , былай белгілейді : (3) Сонда (1) жəне (2) теңдеулерді былай жазуға болады : жəне (3) өрнекті сызықты дифференциалдық оператор деп атайды . Бұл оператор дифференциалдау амалының сызықтығынан шығатын төмендегідей екі шартты қанағаттандырады : 1 . L [Cy ] =CL [y] 2 . L [y1+y2 ] = L [y1 ] + L [y2] Бұлардың салдары ретінде тағы бір қатынасты жазуға болады : 3 . L [∑C i y i] = ∑ Ci L[y ] Бұл шарттар дифференциалдық оператордың сызықтығын білдіреді .

19. n- ретті біртекті сызықты теңдеудің шешімдерінің қасиеттері. Біртекті сызықты теңдеудің шешімдерінің қасиеттері. Коэффициенттері кейбір< a,b> аралығында үздіксіз болып келетін мына n-ретті теңдеуді қарастырайық : (1) Ең алдымен ескеретін жəй – біртекті сызықты теңдеудің барлық жағдайда нольдік шешімі бар . Ол шешім y(x0)=0, y'(x0)=0,...., (2) бастапқы шартты қанағаттандыратын Коши есебінің шешімі : y( x ) = 0. Бұл шешім жалғыз . Теорема -1. Егер ϕ1 ( x) ,..., ϕm( x) функциялары (1) теңдеудің< a,b> аралығындағы шешімдері болса , онда олардың сызықты комбинациясы ϕ(x)=α1 ϕ1(x)+...+αm ϕ m(x) (3) сол теңдеудің< a,b> аралығын дағы шешімі болады . Теорема -2. Егер (1) теңдеудің ϕ ( x) = u( x) + iv( x ) түріндегі комплекс шешімі бар болса , онда оның нақты жəне жорамал бөліктері өз алдына сол теңдеудің шешімдерін береді . Дəлелдеуі . Шарт бойынша оператордың қасиеті бойынша

Осыдан Анықтама -1. Егер <a,b> аралығында анықталған ϕ 1 ( x) ,..., ϕm ( x) функциялары үшін бəрі бірдей нөлге тең емес α1 ,..., α m сандары табылып , (4) теңдігі орындалса , онда берілген функциялар жиыны <a,b> аралығында сызықты тəуелді деп аталынады , ал (4) теңдік α1 ,..., α m сандарының тек нөлдік мəндерінде ғана орындалса , онда берілген функциялар жиыны <a,b> аралығында сызықты тəуелсіз деп аталады .

Айталық, ϕ1 ( x) ,...,ϕ n ( x) функциялары (1) теңдеудің a,b аралығында анықталған нақты шешімдері болсын . Осы функциялар мен олардың туындыларынан құрылған төмендегідей n ретті анықтауыш (5) Вронский анықтауышы деп аталады . Қысқаша , оны функциялардың вронскианы дейді . Бұл анықтауышты қысқаша , W( x ) деп белгілейді .

Теорема -3. Егер ϕ1(x),...., ϕn(x) шешімдері <a,b>аралығында сызықты тəуелді болса , онда олардың вронскианы осы аралықта нөлге тепе -тең. Дəлелдеуі . Анықтама бойынша бəрі бірдей нөлге тең емеc a1,..,an сандары үшін (6) теңдігі орындалады . Осы қатынасты n −1 рет дифференциалдау арқылы сызықты алгебралық жүйе құрайық: (7) Бұл біртекті сызықты алгебралық жүйенің нөлдік емес шешімі бар болуы үшін оның анықтауышы нөлге тең болуы керек , ал ол анықтауыш Вронский анықтауышы , яғни W( x ) =0 .

20. Шешімдердің өзара тәуелділігі, тәуелсіздігі. Вронский анықтауышы Біртекті сызықты теңдеудің шешімдерінің қасиеттері. Коэффициенттері кейбір< a,b> аралығында үздіксіз болып келетін мына n-ретті теңдеуді қарастырайық : (1) Ең алдымен ескеретін жəй – біртекті сызықты теңдеудің барлық жағдайда нольдік шешімі бар . Ол шешім y(x0)=0, y'(x0)=0,...., (2) бастапқы шартты қанағаттандыратын Коши есебінің шешімі : y( x ) = 0. Бұл шешім жалғыз . Теорема -1. Егер ϕ1 ( x) ,..., ϕm( x) функциялары (1) теңдеудің< a,b> аралығындағы шешімдері болса , онда олардың сызықты комбинациясы ϕ(x)=α1 ϕ1(x)+...+αm ϕ m(x) (3) сол теңдеудің< a,b> аралығын дағы шешімі болады . Теорема -2. Егер (1) теңдеудің ϕ ( x) = u( x) + iv( x ) түріндегі комплекс шешімі бар болса , онда оның нақты жəне жорамал бөліктері өз алдына сол теңдеудің шешімдерін береді . Дəлелдеуі . Шарт бойынша оператордың қасиеті бойынша

Осыдан

Айталық, ϕ1 ( x) ,...,ϕ n ( x) функциялары (1) теңдеудің a,b аралығында анықталған нақты шешімдері болсын . Осы функциялар мен олардың туындыларынан құрылған төмендегідей n ретті анықтауыш (5) Вронский анықтауышы деп аталады . Қысқаша , оны функциялардың вронскианы дейді . Бұл анықтауышты қысқаша , W( x ) деп белгілейді .

Теорема -3. Егер ϕ1(x),...., ϕn(x) шешімдері <a,b>аралығында сызықты тəуелді болса , онда олардың вронскианы осы аралықта нөлге тепе -тең. Дəлелдеуі . Анықтама бойынша бəрі бірдей нөлге тең емеc a1,..,an сандары үшін (6) теңдігі орындалады . Осы қатынасты n −1 рет дифференциалдау арқылы сызықты алгебралық жүйе құрайық: (7) Бұл біртекті сызықты алгебралық жүйенің нөлдік емес шешімі бар болуы үшін оның анықтауышы нөлге тең болуы керек , ал ол анықтауыш Вронский анықтауышы , яғни W( x ) =0 .

21. n-ретті тұрақты коэффициентті сызықты біртекті теңдеудің фундаменталь шешімдер жүйесін табу. Эйлер әдісі Біртекті теңдеуді қарастырайық: (1) Мұндағы, a i - тұрақты нақты сандар . Бұл теңдеудің шешімін Эйлер ұсынған əдіс бойынша (2) түрінде іздейміз . Мұндағы, λ - белгісіз тұрақты сан . Осы өрнекті (1) теңдеудің сол жағына қойсақ, (3) қатынасын аламыз . Мұнда (4) (3) қатынастан функциясы теңдеудің шешімі болу үшін λ санының P(λ) =0 теңдеуінің шешімі болуы керек екенін көреміз , яғни (5) Соңғы теңдеуді сипаттаушы теңдеу деп , ал оның түбірлерін сипаттаушы сандар деп атайды . Сипаттаушы сандардың түрлеріне байланысты фундаменталь шешімдер жүйесі əртүрлі болады . Сол жағдайларды қарастырайық. 1. Сипаттаушы λ1 ,..., λ n сандары əртүрлі нақты сандар болсын . Бұл сандарды кезекпен (2) қатынасқа қойып , n дербес шешім табамыз : (6) Олардың сызықты тəуелсіздігін көрсету үшін Вронский анықтауышын құрайық: Соңғы анықтауыш Вандермонд анықтауышы деп аталады . Ол λ1 ,..., λn сандары əртүрлі болғанда нөлге айналмайды , яғни W( x) ≠ 0. Сондықтан , (6) функциялар жиыны берілген теңдеудің фундаменталь шешімдер жүйесін құрайы . Бұл жағдайда жалпы шешім (7) түрінде жазылады . Мұндағы, C1,...,C n - еркін тұрақты сандар . 2 .Сипаттаушы сандардың ішінде комплексты сандар кездессін . Айталық, λ1= a+ ib сипаттаушы теңдеудің жəй түбірі болсын . Онда оның түйіндесі λ2 = λ1= a− ib саны да сол теңдеудің түбірі болады . Бұл жағдайда a + ib түбіріне сəйкес шешім (8) түрінде жазылады . Бұл комплексты функция . Өткен параграфта көрсетілген сызықты теңдеудің шешімдерінің қасиеті бойынша оның нақты жəне жорамал бөліктері өз алдына берілген теңдеудің шешімдері болады .

22. Лиувилль формуласы. Лиувилль формуласын пайдаланып екінші ретті сызықты теңдеудің жалпы шешімін табу Осы қатынасты Лиувилль формуласы деп атайды . Лиувилль формуласын пайдаланып бір шешімі белгілі екінші ретті біртекті сызықты теңдеудің жалпы шешімін құруға болады . Егер теңдеуінің x1 =ϕ1 (t ) шешімі белгілі болса , онда Лиувилль формуласы былай жазылады : немесе Соңғы теңдікті функциясына көбейтіп интегралдасақ, онда теңдігін аламыз . Осыдан (15) Мұндағы, функциясы теңдеудің екінші дербес шешімін береді .

23. n-ретті біртекті емес сызықты теңдеулердің шешімдерінің қасиеттері. Біртексіз сызықты теңдеуді қарастырайық: (1) Мұнда да коэффициенттер мен бос мүше кейбір a,b аралығында үздіксіз функциялар деп есептелінеді . Осы теңдеудің сəйкес біртектісін қоса қарастырайық: (2) Бұл екі теңдеудің шешімдерінің арасында тығыз байланыстар бар . 1 . Егер y ~ біртексіз (1) теңдеудің шешімі, ал 1 y біртекті (2) теңдеудің шешімі болса , онда y =y1+ y ~ функциясы (1) теңдеудің шешімін береді . 2 . Егер 1 y ~ жəне 2 y ~ функциялары (1) теңдеудің шешімдері болса , онда олардың айырмасы (2) теңдеудің шешімін береді . Шыныда да , 3 . Егер (1) теңдеуде

ал yi функциясы теңдеуінің шешімі болса , онда Бұл қасиетті суперпозиция қасиеті деп атайды . 4 . Егер (1) теңдеудің оң жағы комплексты функция болса комплексты функция сол теңдеудің шешімі болса , онда нақты α ( x) жəне β ( x ) функциялары сəйкес L [y] =u( x) жəне L [y ] =v( x ) теңдеулерінің шешімдері болады . Теорема . Біртексіз (1) теңдеудің жалпы шешімі осы теңдеудің бір дербес шешімі мен сəйкес біртекті (2) теңдеудің жалпы шешімінің қосындысынан тұрады . Біртексіз теңдеудің жалпы шешімін табу үшін əдетте , тұрақтыларды вариациялау əдісі қолданылады . Бұл əдістің мəнісі – сəйкес біртекті теңдеудің жалпы шешімі белгілі деп , ондағы еркін тұрақтыларды x-қа байланысты айнымалы шамалар деп есептелініп , шешім мына түрде ізделінеді :

24. Тұрақты коэффициентті біртекті емес  n-ретті сызықты теңдеулер үшін вариациялау әдісі. Тұрақты коэффициентті біртексіз теңдеуді қарастырайық: (1) Мұнда a i -сандары нақты , ал f ( x) - функциясы кейбір a,b аралығында үздіксіз деп алынады . Біртексіз сызықты теңдеудің жалпы жəне дербес шешімдерін жалпы жағдайда тұрақтыларды вариациялау арқылы анықтауға болады . Кейбір жағдайларда f ( x) функциясының түріне байланысты шешімді алгебралық амалдардың көмегімен интегралсыз -ақ табуға болады . Айталық, f ( x) функциясы квазикөпмүшелік түрде берілсін , яғни (2) Мұнда Pm( x) -дəрежесі m -ге тең көпмүшелік : (3) (4)

25. Тұрақты коэффициентті біртекті емес  екінші ретті теңдеудің дербес шешімін іздеу әдістері (анықталмаған коэффициент түрінде іздеу). Тұрақты коэффициентті біртексіз жүйені қарастырайық:

(17)

Мұнда , , - квадрат матрица. Оның сәйкес біртектісі:

(18)

жүйесінің жалпы шешімі элементар функциялар арқылы өрнектеледі. Жалпы жағдайда біртексіз жүйенің жалпы шешімі тұрақтыларды вариациялау арқылы оңай табылады.

Егер (17) жүйедегі вектор-функция квазикөпмүшелік түрінде берілсе, онда жүйенің дербес шешімін анықталмаған коэффициенттер әдісін қолданып табуға болады. Табылған дербес шешімді біртекті жүйенің жалпы шешімімен қоссақ, берілген (17) жүйенің жалпы шешімін аламыз.

Айталық, біртексіз жүйе төмендегідей түрде берілсін:

(19)

Мұндағы, - дәрежесі -нен аспайтын көпмүшелікті вектор, Бұл жерде екі жағдай қарастырылады.

Резонанс емес жағдай: саны матрицасының меншікті саны емес. Бұл жағдайда дербес шешім

(21)

түрінде ізделінеді. Мұнда - вектор:

(22)

мұнда - белгісіз тұрақты вектор.

Осы өрнекті (19) теңдікке қойып, -ның әртүрлі дәрежелерінің алдындағы коэффициенттерін теңестіреміз:

(23)

Осыдан

(24)

Мұнда матрицасы ерекше емес. Сондықтан, (24) жүйеден сатылап барлық векторларын бірмәндес түрде анықтауға болады:

(25)

екінші теңдеуден векторын, осылай барлық векторларды табамыз.

Резонанс жағдай: саны матрицасының меншікті саны. Бұл жағдайда дербес шешім

(26)

түрінде ізделінеді. Мұнда - вектор-функция, оның әрбір компоненті дәрежесі -ден аспайтын көпмүшелік.

Егер саны матрицасының еселікті меншікті саны болса, онда векторының компоненттерінің бойынша дәрежелері сәйкес еселік көрсеткішіне өседі.

26. Сызықты дифференциалдық теңдеулер жүйесін интегралдау. Меншікті сандар мен меншікті векторлар Коэффициенттері тұрақты біртекті сызықты жүйені қарастырайық:

(1)

Мұнда - тұрақты нақты квадрат матрица.

Бұл жүйенің шешімін Эйлер әдісі бойынша

(2)

түрінде іздейміз. Мұнда -белгісіз сан, -нөлдік емес белгісіз тұрақты вектор.

Осы (2) өрнекті (1) жүйеге қойсақ, (3)

түріндегі векторлық алгебралық теңдеу аламыз. Бұл теңдеуді ашып жазсақ,

(4)

түріндегі сызықты теңдеулер жүйесін аламыз. Жүйенің нөлдік емес шешімі бар болуы үшін оның анықтауышы нөлге тең болуы керек:

(5)

немесе

(6)

Осы теңдеу берілген жүйенің сипаттаушы теңдеуі деп аталады. Оның түбірлері матрицасының меншікті сандары (мәндері), ал әрбір меншікті санға сәйкес векторын матрицасының меншікті векторы деп атайды.

Меншікті сандардың түрлеріне байланысты фундаменталь матрица әртүрлі болады.Сол жағдайларды қарастырайық.

Айталық, меншікті сандар әртүрлі нақты сандар болсын: . Осындағы белгілі бір меншікті санына сәйкес векторының координаттары (4) жүйеден табылады. Ол үшін -ның орнына -ді қою керек. Егер , ал деп алсақ, онда -ге сәйкес шешім

(7)

түрінде жазылады. Сондықтан, бұл жағдайда фундаменталь матрица былай жазылады:

(8)

Бұл матрицаның анықтауышы нөлге тең емес, өйткені оның әрбір бағанасы өзара тәуелсіз. Сондықтан, жалпы шешім

(9)

түрінде жазылады немесе матрица түрінде

(10)

Мұндағы, -бір бағаналы тұрақты матрица.

Айталық, - сипаттаушы теңдеудің жәй түбірі болсын. Онда оның түйіндесі саны да сол теңдеудің түбірі болады. Бұл жағдайда сәйкес шешім

27. Біртекті сызықты жүйенің шешімдерінің қасиеттері Коэффициенттері тұрақты біртекті сызықты жүйені қарастырайық:

(1)

Мұнда - тұрақты нақты квадрат матрица.

Бұл жүйенің шешімін Эйлер әдісі бойынша

(2)

түрінде іздейміз. Мұнда -белгісіз сан, -нөлдік емес белгісіз тұрақты вектор.

Осы (2) өрнекті (1) жүйеге қойсақ, (3)

түріндегі векторлық алгебралық теңдеу аламыз. Бұл теңдеуді ашып жазсақ,

(4)

түріндегі сызықты теңдеулер жүйесін аламыз. Жүйенің нөлдік емес шешімі бар болуы үшін оның анықтауышы нөлге тең болуы керек:

(5)

немесе

(6)

Осы теңдеу берілген жүйенің сипаттаушы теңдеуі деп аталады. Оның түбірлері матрицасының меншікті сандары (мәндері), ал әрбір меншікті санға сәйкес векторын матрицасының меншікті векторы деп атайды.

Меншікті сандардың түрлеріне байланысты фундаменталь матрица әртүрлі болады.Сол жағдайларды қарастырайық.

Айталық, меншікті сандар әртүрлі нақты сандар болсын: . Осындағы белгілі бір меншікті санына сәйкес векторының координаттары (4) жүйеден табылады. Ол үшін -ның орнына -ді қою керек. Егер , ал деп алсақ, онда -ге сәйкес шешім

(7)

түрінде жазылады. Сондықтан, бұл жағдайда фундаменталь матрица былай жазылады:

(8)

Бұл матрицаның анықтауышы нөлге тең емес, өйткені оның әрбір бағанасы өзара тәуелсіз. Сондықтан, жалпы шешім

(9)

түрінде жазылады немесе матрица түрінде

(10)

Мұндағы, -бір бағаналы тұрақты матрица.

Айталық, - сипаттаушы теңдеудің жәй түбірі болсын. Онда оның түйіндесі саны да сол теңдеудің түбірі болады. Бұл жағдайда сәйкес шешім

28. Біртексіз сызықты жүйенің шешімдерінің қасиеттері Тұрақты коэффициентті біртексіз жүйені қарастырайық:

(17)

Мұнда , , - квадрат матрица. Оның сәйкес біртектісі:

(18)

жүйесінің жалпы шешімі элементар функциялар арқылы өрнектелетіні өткен пунктте көрсетілді. Жалпы жағдайда біртексіз жүйенің жалпы шешімі тұрақтыларды вариациялау арқылы оңай табылады.

Егер (17) жүйедегі вектор-функция квазикөпмүшелік түрінде берілсе, онда жүйенің дербес шешімін анықталмаған коэффициенттер әдісін қолданып табуға болады. Табылған дербес шешімді біртекті жүйенің жалпы шешімімен қоссақ, берілген (17) жүйенің жалпы шешімін аламыз.

Айталық, біртексіз жүйе төмендегідей түрде берілсін:

(19)

Мұндағы, - дәрежесі -нен аспайтын көпмүшелікті вектор, яғни

, (20)

мұндағы - тұрақты векторлар.

Бұл жерде екі жағдай қарастырылады.

Резонанс емес жағдай: саны матрицасының меншікті саны емес. Бұл жағдайда дербес шешім

(21)

түрінде ізделінеді. Мұнда - вектор:

(22)

мұнда - белгісіз тұрақты вектор.

Осы өрнекті (19) теңдікке қойып, -ның әртүрлі дәрежелерінің алдындағы коэффициенттерін теңестіреміз:

(23) Осыдан

(24)

Мұнда матрицасы ерекше емес. Сондықтан, (24) жүйеден сатылап барлық векторларын бірмәндес түрде анықтауға болады:

(25)

екінші теңдеуден векторын, осылай барлық векторларды табамыз.

Резонанс жағдай: саны матрицасының меншікті саны. Бұл жағдайда дербес шешім

(26)

түрінде ізделінеді. Мұнда - вектор-функция, оның әрбір компоненті дәрежесі -ден аспайтын көпмүшелік.

Егер саны матрицасының еселікті меншікті саны болса, онда векторының компоненттерінің бойынша дәрежелері сәйкес еселік көрсеткішіне өседі

29. Біртекті емес сызықты дифференциалдық теңдеулер жүйесі Біртексіз сызықты теңдеулер жүйесін қарастырайық:

(1)

Айталық, кейбір функциясы (1) жүйенің дербес шешімі болсын. Осы жүйеге

(2)

түрінде алмастыру жасайық. Екі жағынан да туынды алып, сол жүйенің өзін пайдалансақ, төмендегідей теңдік аламыз:

Ал бұдан шығатыны

(3)

Бұл біртекті сызықты жүйе. Осы жүйенің жалпы шешімін тауып, оны (2) қатынастағы -тің орнына қойсақ, (1) жүйенің жалпы шешімін табамыз.

Қорытындылап айтсақ, біртексіз жүйенің жалпы шешімі осы жүйенің дербес шешімі мен оның сәйкес біртектісінің жалпы шешімінің қосындысына тең.

Ал біртекті (3) жүйенің жалпы шешімі

(4)

түрінде жазылатыны белгілі. Мұндағы, - (3) жүйенің фундаменталь матрицасы, - бір бағаналы матрица. Сондықтан, (1) жүйенің жалпы шешімі

(5)

түрінде жазылады. Бұл шешімнің жалпы шешім болатынын көрсету үшін одан кез келген Коши есебінің шешімін алуға болатынын дәлелдесек, жеткілікті. Ол үшін болғанда болатын шартты қанағаттандыратын векторды табу мүмкіншілігін қарастырайық:

(6)

Теңдіктегі фундаменталь матрица болғандықтан, аралығындағы кез келген нүктеде оның анықтауышы нөлге тең емес, яғни оның кері матрицасы бар. Сондықтан,

(7)

Осы векторды (5) қатынасқа қойып, керекті шешімді аламыз:

немесе

(8)

Мұндағы, - Коши функциясы.

3.2. Біртексіз сызықты жүйенің жалпы шешімін табу үшін әдетте, тұрақтыларды вариациялау әдісі қолданылады. Мұны Лагранж әдісі деп те атайды. Ол үшін біртекті жүйенің жалпы шешіміндегі тұрақты векторын - ға байланысты функция деп, біртексіз жүйенің шешімін

(9)

түрінде іздейміз. Екі жағынан туынды алып, берілген (1) жүйені пайдаланып, мынандай теңдеу аламыз:

Ал

(10)

тепе-теңдігін ескерсек, онда

Осыдан

(11)

Бұл теңдеудің шешімі интегралдау арқылы былай жазылады:

(12)

30. Тұрақты коэффициентті сызықты жүйелерді интегралдау Біртекті теңдеуді қарастырайық: (1) Мұндағы, a i - тұрақты нақты сандар . Бұл теңдеудің шешімін Эйлер ұсынған əдіс бойынша (2) түрінде іздейміз . Мұндағы, λ - белгісіз тұрақты сан . Осы өрнекті (1) теңдеудің сол жағына қойсақ, (3) қатынасын аламыз . Мұнда (4) (3) қатынастан функциясы теңдеудің шешімі болу үшін λ санының P(λ) =0 теңдеуінің шешімі болуы керек екенін көреміз , яғни (5) Соңғы теңдеуді сипаттаушы теңдеу деп , ал оның түбірлерін сипаттаушы сандар деп атайды . Сипаттаушы сандардың түрлеріне байланысты фундаменталь шешімдер жүйесі əртүрлі болады . Сол жағдайларды қарастырайық. 1. Сипаттаушы λ1 ,..., λ n сандары əртүрлі нақты сандар болсын . Бұл сандарды кезекпен (2) қатынасқа қойып , n дербес шешім табамыз : (6) Олардың сызықты тəуелсіздігін көрсету үшін Вронский анықтауышын құрайық: Соңғы анықтауыш Вандермонд анықтауышы деп аталады . Ол λ1 ,..., λn сандары əртүрлі болғанда нөлге айналмайды , яғни W( x) ≠ 0. Сондықтан , (6) функциялар жиыны берілген теңдеудің фундаменталь шешімдер жүйесін құрайы . Бұл жағдайда жалпы шешім (7) түрінде жазылады . Мұндағы, C1,...,C n - еркін тұрақты сандар . 2 .Сипаттаушы сандардың ішінде комплексты сандар кездессін . Айталық, λ1= a+ ib сипаттаушы теңдеудің жəй түбірі болсын . Онда оның түйіндесі λ2 = λ1= a− ib саны да сол теңдеудің түбірі болады . Бұл жағдайда a + ib түбіріне сəйкес шешім (8) түрінде жазылады . Бұл комплексты функция . Өткен параграфта көрсетілген сызықты теңдеудің шешімдерінің қасиеті бойынша оның нақты жəне жорамал бөліктері өз алдына берілген теңдеудің шешімдері болады .

31. Вольтерраның интегралдық теңдеулері. түрі, негізгі анықтамалары. Интегралдық теңдеулердің негізгі түрінің бірі Вольтерраның интегралдық теңдеуі теңдеуі. Вольтерраның 2-ші текті интегралдық теңдеуі (1) 1-текті интегралдық теңдеуі a Анықтама.Егер функциясын қойған кезде................................... онда оны интегралдық теңдеудің шешімі деп атайды . Интегралдық теңдеудің шешімінің бар және жалғыз болуы байланысты болады . Вольтерра теңдеуін Фредгольмнің интегралдық теңдеуінің дербес түрі деп қарастыруға болады