8. Бернулли, Риккати теңдеулері

Мына түрдегі теңдеуді y′+p( x )y=q( x ) (1) Бернулли теңдеуі деп атайды . Егер n=0 , не n=1 болса , онда бұл теңдеу сызықты теңдеуге айналады . Сондықтан , n ≠ 0,1 - жағдайды қарастырамыз . Бұл жағдайда z = алмастыруын енгізсек , мынандай теңдеу аламыз : Бұл сызықтық біртексіз теңдеу . Оның жалпы шешіміндегі z–тың орнына -ты қойсақ, Бернулли теңдеуінің жалпы шешімі алынады : (3) Бернулли теңдеуіне кей жағдайларда келтірілетін теңдеудің біреуі Рикатти теңдеуі : (4) Бұл теңдеу жалпы жағдайда тұйық түрде интегралданбайды , бірақ оның бір дербес шешімі белгілі болса , онда ол Бернулли теңдеуіне келтіріледі . Айталық, y= (4) теңдеудің белгілі бір аралықтағы шешімі болсын . Рикатти теңдеуіне z =y- алмастыруын енгізсек , онда (5) түріндегі Бернулли теңдеуін аламыз

9. Толық дифференциалды түрдегі теңдеулер.

Симметриялық түрде берілген N( x,y )dy+M( x,y )dx =0 (1) дифференциалдық теңдеудің сол жағы кейбір екі айнымалы u (x , y) функциясының толық дифференциалына тең болса , яғни M( x,y )dx+ N( x,y )dy=du(x,y) (2) онда (1) теңдеуді толық дифференциалды теңдеу деп атайды . Соңғы (2) теңдікті пайдалансақ, (1) теңдеуді былай жазуға болады : du(x,y)=0 (3) Бұдан u (x , y) =C (4) өрнегі (1) теңдеудің жалпы интегралы болатынын көреміз . Сондықтан осы u функциясын табу жолын келтірейік . Əдетте , берілген теңдеудің толық дифференциалдылығын бірден байқау мүмкін емес . Сондықтан ондай жағдайды анықтайтын белгіні келтірейік . Əдетте , берілген теңдеудің толық дифференциалдылығын бірден байқау мүмкін емес . Сондықтан ондай жағдайды анықтайтын белгіні келтірейік . Айталық, (1) теңдеудегі M( x,y ) жəне N( x,y ) функциялары кейбір D облысында өзінің дербес туындылары жəне мен бірге үздіксіз функциялар болсын . Теорема . Берілген (1) теңдеу толық дифференциалды теңдеу болу үшін бір байланысты D облысында = (5) тепе -теңдігінің орындалуы қажетті жəне жеткілікті .

10. Шешімнің бар болуы, бар  және жалғыз болу туралы теоремалар Сонымен , бірінші ретті теңдеудің қалыпты түрін алайық: (1) мұндағы, f ( x,y ) функциясы жазықтықтағы кейбір D ⊂ тұйық облысында анықталсын . Осы теңдеу үшін бастапқы y(x0)=y0 (2) шартын қанағаттандыратын шешімді табу есебі қойылсын . Бұл жерде ( x0 ,y 0) нүктесі сол D облысының ішінде жатады деп есептелінеді , ал D облысын , əдетте , төртбұрыш түрінде алады : { (x,y)|x-x0| |y-y0| (3) мұндағы, a жəне b- белгілі оң сандар . Теорема -1. Егер f ( x,y ) функциясы D облысында төмендегідей екі шартты қанағаттандырса : 1) екі аргументі бойынша үздіксіз , сондықтан ол шектелген : sup|f ( x,y )|= M M>0 2) y аргументі бойынша Липшиц шартын қанағаттандырады , яғни кез келген екі нүкте үшін |f(x,y1)- f(x,y2)| (4) теңсіздігі орындалады , L>0, онда бастапқы (2) шартты қанағаттандыратын , |x-x0| ), аралығында анықталған үздіксіз дифференциалданатын жалғыз ғана y= шешім бар болады . Дəлелдеуі . 1 . Алдымен Коши есебінің интегралдық теңдеуге пара -пар екендігін көрсетейік . Айталық, функциясы y= (2) шартты қанағаттандыратын , |x-x0|≤ h кесіндісінде анықталған (1) теңдеудің шешімі болсын Соңғы тепе -теңдікті х0-ден х-қа дейін интегралдасақ, мынандай тепе -теңдік аламыз : Бұдан y= функциясының (5) интегралдық теңдеудің шешімі болатынын көреміз Бұдан шығатын қорытынды – Коши есебінің шешімін табу үшін интегралдық теңдеудің шешімінің барлығын жəне жалғыздығын дəлелдесек жеткілікті . 2. Интегралдық теңдеудің шешімін біртіндеп жуықтау əдісімен іздейміз . Бұл əдісті Пикар əдісі деп те атайды . Бастапқы нөлдік жуықтау ретінде ізделініп отырған функцияның алғашқы y0 мəнін аламыз да , бірінші жуықтау үшін (6) өрнегін жазамыз , ал екінші жуықтау үшін (7) өрнегін жазамыз . Жалпы , кез келген n-ші жуықтауды мына түрде жазамыз : (8) Коши есебінің шешімінің жалғыздығын дəлелдеу үшін алдымен Гронуолл леммасын келтірейік . Лемма . Кейбір a,b аралығында үздіксіз u(t ) ≥0 f(t) ≥0 функциялары жəне C>0 тұрақты саны үшін теңсіздігі орындалса , онда одан мынандай теңсіздік алуға болады :

11. Туынды бойынша шешілмеген теңдеулер. Негізгі түсініктер Туынды бойынша шешілмеген теңдеулердің жалпы түрін мынандай өрнекпен жазуға болады : F(x,y,y')=0 (1) мұндағы, F – кейбір G облысында анықталған үздіксіз функция . Анықтама -1. a,b аралығында анықталған y= функциясы (1) теңдеудің шешімі деп аталады , егер мынандай үш шарт орындалса : 1) ϕ(x) функциясы <a,b> аралығының барлық нүктесінде дифференциалданатын болса , 2) (x, ϕ(x), ϕ'(x)) 3)F(x, ϕ(x), ϕ'(x)) Жалпы жағдайда , (1) теңдеуді у ′бойынша шешу мүмкін бола бермейді . Бірақ, басқа айнымалылары бойынша шешілуі мүмкін . Мұндай жағдайда параметр енгізу əдісін қолданады . Айталық, (1) теңдеу у бойынша шешілген делік :y= f ( x,y' ) . Бұл жағдайда y′=p параметрін енгізу арқылы y= f ( x,p ) (2) теңдеуін аламыз . Осы қатынастан толық дифференциал алып , алмастырудағы dy= pdx байланысын ескерсек , онда мынандай теңдеу аламыз : M( x,p )dx + N( x,p )dp=0 (3) . Егер оның Φ ( x,p,C ) жалпы интегралы белгілі болса , онда (4) түріндегі қатынастары (1) теңдеудің интегралдық қисығын анықтайды

12. Параметр енгізу әдісі Туынды бойынша шешілмеген теңдеулердің жалпы түрін мынандай өрнекпен жазуға болады : F(x,y,y')=0 (1) мұндағы, F – кейбір G облысында анықталған үздіксіз функция . Анықтама -1. a,b аралығында анықталған y= функциясы (1) теңдеудің шешімі деп аталады , егер мынандай үш шарт орындалса : 1) ϕ(x) функциясы <a,b> аралығының барлық нүктесінде дифференциалданатын болса , 2) (x, ϕ(x), ϕ'(x)) 3)F(x, ϕ(x), ϕ'(x)) Жалпы жағдайда , (1) теңдеуді у ′бойынша шешу мүмкін бола бермейді . Бірақ, басқа айнымалылары бойынша шешілуі мүмкін . Мұндай жағдайда параметр енгізу əдісін қолданады . Айталық, (1) теңдеу у бойынша шешілген делік :y= f ( x,y' ) . Бұл жағдайда y′=p параметрін енгізу арқылы y= f ( x,p ) (2) теңдеуін аламыз . Осы қатынастан толық дифференциал алып , алмастырудағы dy= pdx байланысын ескерсек , онда мынандай теңдеу аламыз : M( x,p )dx + N( x,p )dp=0 (3) . Егер оның Φ ( x,p,C ) жалпы интегралы белгілі болса , онда (4) түріндегі қатынастары (1) теңдеудің интегралдық қисығын анықтайды

13. Лагранж, Клеро теңдеулері Лагранж теңдеуін қарастырайық: y= xϕ(y')+ψ(y') (1) Бұл теңдеуге y′=p (dy= pdx ) алмастыруын жасап , толық дифференциалын табайық; dy= pdx= ϕ(p)dx+x ϕ(p)dp+ ψ(p)dp Осыдан [ p- ϕ(p)]dx-[xϕ'(p)+ψ'(p)]dp=0 немесе( p- ϕ(p) ): : (2) түріндегі сызықтық біртексіз теңдеу аламыз . Тұрақты санды вариациялау əдісімен теңдеудің жалпы шешімін оңай жазамыз : x= Φ( p,C ) Соңғы қатынасқа бастапқы теңдеудің параметрлік түрін қосып жазсақ, жалпы шешімнің параметрлік түрін аламыз : (3) Енді осы Лагранж теңдеуінің дербес түрін қарастырайық: y= xy'+ψ(y') (4) Бұл теңдеуді Клеро теңдеуі деп атайды . y ′=p белгілеуін енгізейік : y= xp+ψ(p) (5) Осыдан толық дифференциал тауып , dy= pdx қатынасын пайдалансақ, онда pdx =pdx+xdp+ ψ ′(p)dp теңдігін аламыз . Ал бұдан |x+ ψ'(p)|dp=0 (6) Соңғы теңдеу екі теңдеуге бөлінеді : dp = 0жəне x + ψ'(p)=0 (7) Осыдан , егер dp =0 болса , онда p=C. Мұны бастапқы теңдеуге апарып қойсақ, y= Cx+ ψ(C) (8) түріндегі жалпы шешім аламыз . Егер x + ψ'(p)=0 теңдеуі орындалса , онда түріндегі Клеро теңдеуінің параметрлік ерекше шешімін аламыз .