5. Айнымалылары ажыратылатын теңдеулер

Анықтама: Жалпы, айнымалыларды ажырату деп dx-тың алдында тек х-қа тәуелді, ал dy-тың алдында тек у-ке тәуелді функциялардың тұруын қамтамасыз етуді айтады.

P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 (1) бірінші ретті теңдеу айнымалылары ажыратылатын дифференциалдық теңдеу деп аталады. Егер P и Q функциялары тек бір ғана айнымалылардан тəуелді көпмүшеліктерге жіктелінсе жəне f1(x)· f2(y)dx+φ1(y) ·φ2(y)dy=0 (2) теңдеу мүшелерін f2(y)·φ1(х)-ке бөлсек айнымалылары ажыратылады.

(3) Теңдеу мүшелерін интегралдай отырып ізделінді жалпы интегралды табамыз: (4)

6. Айнымалылары ажыратуға келетін теңдеулер Айнымалылары ажыртуға келетін теңдеулер қатарына мына теңдеуді жатқызуға болады. Олар кейбір алмастырулар арқылы оңай интегралданады. Солардың бірі:

(12)

түріндегі теңдеулердің алмастыруы арқылы айнымалылары оңай бөлінеді. Шынында да, соңғы алмастырудан туынды тауып, теңдеуге қоятын болсақ, мынандай қатынастар аламыз:

немесе

Соңғы қатынастан:

,

яғни айнымалылар бөлінді. Осыдан интеграл алсақ, онда жалпы интегралды мына түрде жазуға болады:

(13)

7. Бірінші ретті сызықты біртекті және біртекті емес теңдеулер. Лагранж әдісі.

Бірінші ретті сызықты теңдеулер . Белгісіз функция мен оның туындысы сызықты түрде , яғни бірінші дəрежеде байланысқан теңдеуді сызықты дифференциалдық теңдеу деп атайды . Сызықты теңдеудің келтірілген түрін қарастырайық: y ′+ p( x )y = q( x ) (1) Мұнда p(x), q(x) функциялары кейбір <a,b> аралығында анықталған жəне үздіксіз деп есептелінеді . Егер q(x) ≠ 0 болса , онда (1) теңдеуді біртексіз сызықты теңдеу деп , ал q(x)=0 болса , онда біртекті сызықты теңдеу деп атайды : y ′+ p( x )y = 0 (2) Көбінесе (2) теңдеуді (1) теңдеудің сəйкес біртектісі деп атайды . Біртекті (2) теңдеу айнымалылары ажыратылатын теңдеу . Екі жағын у-ке бөліп , мынандай теңдеу аламыз :

Осы қатынасты интегралдасақ:

ln| y| + ∫ p( x)dx=lnC

өрнегін аламыз . Логарифмсіз жазсақ,

(3) түріндегі (2) теңдеудің жалпы шешімін аламыз. Егер y=0 жағдайды қарастырсақ, ол осы жалпы шешімнің С=0 болғандағы мəніне сəйкес келетін шешім . Сондықтан y=0 – дербес шешім . Оны нөлдік немесе тривиaл шешім деп те атайды жəне ол барлық уақытта бар шешім . Біртекті (2) теңдеудің (3) жалпы шешімін Коши түрінде жазсақ, былай жазылады : y= (4) мұнда х0 -тұрақты сан , ал у0 – кез келген сан деп есептелінеді . Біртекті теңдеу шешімдерінің екі қасиетін атап өтейік : 1. Егер у1 жəне у2 функциялары (2) теңдеудің шешімдері болса , онда олардың қосындысы : у = у1+у2 функциясы да сол теңдеудің шешімі болады . 2. Егер у1 функциясы (2) теңдеудің шешімі болса , онда y = Cy1 функциясы да ( С – кез келген сан ) сол теңдеудің шешімі болады . y ′+ p( x )y = q( x ) (1) теңдеуді шешу үшін бірнеше әдіс қолдануға болады . 1.Тұрақтыны вариациялау әдісі ( Лагранж әдісі) Тұрақтыны вариациялау бойынша (1) теңдеу шешімін (2) теңдеу шешімі түрінде іздейміз, онда (2) теңдеу шешіміндегі С тұрақты санын С(х) функциясы түрінде аламыз , яғни (4)

(4) +pC(x) (4) (5) (1) теңдеу шешімі