Тема 4.2. Неравенства. Неравенства. Основные приемы их решения.

Линейные неравенства.

Рассмотрим неравенства вида (соответственно , , ), где — переменная, а и - выражения с переменной . Если переменной придать какое-либо числовое значение, то получится числовое неравенство, выражающее либо истинное, либо ложное высказывание. Пусть, например, дано неравенство . При получаем - истинное высказывание (верное числовое неравенство); при получаем - ложное высказывание.

Всякое значение переменной, при котором данное неравенство с переменной обращается в верное числовое неравенство, называется частным решением неравенства.

Решить неравенство с переменной — значит найти все его частные решения. Множество всех частных решений образует решение неравенства.

Два неравенства с одной переменной х называются равносильными, если решения этих неравенств совпадают.

Основная идея решения неравенства состоит в следующем: мы заменяем данное неравенство другим, более простым, но равносильным данному. Такие замены осуществляются на основе следующих утверждений.

1. Если какой-либо член неравенства с переменной перенести из одной части неравенства в другую с противоположным знаком, оставив при этом без изменения знак неравенства, то получится неравенство, равносильное данному.

2. Если обе части неравенства с переменной умножить или разделить на одно и то же положительное число, оставив при этом без изменения знак неравенства, то получится неравенство, равносильное данному.

3. Если обе части неравенства с переменной умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, заменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится неравенство, равносильное данному.

Ниже на примерах мы покажем применение сформулированных утверждений для решения линейных неравенств, т.е. неравенств вида (соответственно , , ), где и - действительные числа, и для решения неравенств, сводимых к линейным.

Пример 1. Решить неравенство .

Согласно утверждению 1, данное неравенство равносильно неравенству (слагаемое 7 перенесено из одной части неравенства в другую с противоположным знаком, а знак данного неравенства оставлен без изменения).

Разделам обе части неравенства на положительное число 2, а знак неравенства оставим без изменения. Тогда на основании утверждения 2 получим неравенство , равносильное неравенству .

Итак, неравенства и равносильны. Множество решений неравенства , а значит, и заданного неравенства есть промежуток . Заметим, что решение данного неравенства можно записать в виде .

Пример 2. Решить неравенство .

Раскрыв скобки, получим

,

.

Далее, имеем

,

Разделим теперь обе части неравенства на отрицательное число и изменим знак неравенства. Согласно утверждению 3, получим равносильное неравенство . Ответ можно также записать в виде .

Пример 3. Решить неравенство

.

Освободимся от знаменателей, для чего умножим обе части на положительное число 6:

Далее, имеем

,

,

.

Таким образом, — решение данного неравенства.

Пример 4. Решить неравенство

.

Последовательно получаем

,

,

Последнее неравенство верно при любом значении х, так как получается истинное высказывание 0 > —55. Поэтому решением данного неравенства является вся числовая прямая.

Пример 5. Решить неравенство

.

Имеем:

,

,

.

Последнее неравенство не имеет решений, так как при любом значении переменной х получается ложное высказывание 0>2. Значит, и данное неравенство не имеет решений.

Системы и совокупности неравенств.

Несколько неравенств с одной переменной образуют систему, если ставится задача найти все общие решения заданных неравенств. Значение переменной, при котором каждое из неравенств обращается в верное числовое неравенство, называется решением системы неравенств.

Неравенства, образующие систему, объединяются фигурной скобкой. Например, запись означает, что неравенства и образуют систему.

Иногда используется запись в виде двойного неравенства. Например, систему неравенств можно записать в виде двойного неравенства .

Несколько неравенств с одной переменной образуют совокупность, если ставится задача найти все такие значения переменной, каждое из которых является решением хотя бы одного из данных неравенств. Значение переменной, при котором хотя бы одно из неравенств, образующих совокупность, обращается в верное числовое неравенство, называется решением совокупности неравенств.

Неравенства, образующие совокупность, записываются в строчку и отделяются друг от друга знаком «;». Например, запись 2х—5<1; Зх+2>7 означает, что неравенства образуют совокупность. Иногда для обозначения совокупности неравенств используется квадратная скобка. Так, запись означает, что неравенства образуют совокупность.

Рассмотрим примеры решения систем и совокупностей неравенств. В этом параграфе ограничимся линейными неравенствами и неравенствами, сводящимися к линейным.

Пример 1. Решить систему неравенств

Первое неравенство системы преобразуется в равносильное ему неравенство , второе — в неравенство . Таким образом, приходим к системе . Решением служит интервал (рис. 1).

Пример 2. Решить систему неравенств

Выполнив преобразования каждого из неравенств системы, получим систему , которая не имеет решений (рис. 2).

Пример 3. Решить систему неравенств

После преобразований получим систему .

Решением первого неравенства этой системы служит вся числовая прямая, а второго неравенства — промежуток . Этот промежуток и является решением системы.

Пример 4. Решить систему неравенств .

После преобразований получим систему .

Так как первое неравенство системы не имеет решений, то и система не имеет решений.

Пример 5. Решить совокупность неравенств

Преобразовав каждое из неравенств, получим совокупность , решением которой служит луч (рис.3).

Пример 6. Решить неравенство .

Значение дроби положительно тогда и только тогда, когда числитель и знаменатель имеют значения одного знака, т. е. когда

, или .

Можно сказать, что заданное неравенство равносильно совокупности двух систем

, .

Решение первой системы — промежуток , решение второй системы — промежуток . Объединив эти множества, получим решение совокупности систем, а вместе с тем и заданного неравенства: х<3/2: х>7/3.

Пример 7. Решить неравенство .

Преобразуем заданное неравенство:

;

Разделим обе части последнего неравенства на —5: . Значение дроби отрицательно в том и только в том случае, когда числитель и знаменатель имеют значения противоположных знаков; дробь обращается в нуль, когда числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Воспользовавшись этим замечанием, приходим к следующей совокупности двух систем:

; .

Решение первой системы — промежуток , вторая система не имеет решений. Значит, решение совокупности, а поэтому и заданного неравенства — промежуток . Заметим, что ответ можно записать также в виде .

Квадратные неравенства.

Рассмотрим функцию , где . Ее графиком, как известно, является парабола с ветвями, направленными вверх. Эта парабола может: 1) пересечь ось Ох в двух точках (рис. 6, а) — так обстоит дело в случае, если дискриминант D трехчлена положителен; 2) иметь с осью Ох только одну общую точку (рис. 6, б) — в случае D = 0; 3) лежать выше оси Ох (рис. 6, в) — в случае D < О.

На основании графической иллюстрации можно сделать следующие выводы о решении квадратного неравенства:

1) есди и , то решением неравенства служит объединение двух открытых лучей: ; , а решением неравенства служит интервал , здесь х₁, х₂ — корни трехчлена, причем х₁ <х₂;

2) если и , то неравенство справедливо при всех , а неравенство справедливо при всех х; неравенство не имеет решений, а неравенство выполняется лишь в точке ;

3) если и , то неравенства и выполняются при всех х; неравенства и не имеют решений.

Запоминать этот вывод не следует; его всегда можно получить с помощью приведенной выше графической иллюстрации.

Пример 1. Решить неравенство:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

а) Из уравнения находим ; . Неравенству удовлетворяют все значения х, лежащие вне промежутка между корнями: или .

б) Прежде всего, умножив обе части неравенства на , получим и, далее, (х+2)²>0. Этому неравенству удовлетворяют любые значения х, кроме .

в) Здесь . Значит, неравенство выполняется при всех х.

г) Прежде всего, умножив обе части неравенства на , получим . Здесь ; значит, неравенство не имеет решений.

Пример 2. Найти область определения функции

.

Задача сводится к решению неравенства , поскольку выражение, стоящее под знаком квадратного корня, должно быть неотрицательным. Далее, имеем . Корни трехчлена таковы: ; . Решением неравенства служит отрезок .

Пример 3. Решить неравенство .

Имеем

,

,

.

Теперь задача сводится к решению совокупности двух систем:

или .

Решим первую систему. Из неравенства находим . Трехчлен имеет корни и ; значит, решением неравенства служит интервал . Решением системы является промежуток (рис. 7).

Решим вторую систему. Из неравенства находим , из неравенства получаем или . Решением системы является промежуток (рис. 8).

Итак, заданному неравенству удовлетворяют все такие числа х, что ; .