Раздел 1. Алгебра. Тема 1.1. Развитие понятия о числе. Действительные числа.
Множество
вещественных чисел состоит из рациональных
и иррациональных чисел. Рациональным
называется число, которое можно
представить в виде
,
где
и
- целые числа, причем
.
Иррациональным называется всякое
вещественное число, которое не является
рациональным. Всякое рациональное число
является либо целым, либо представляется
конечной или периодической бесконечной
десятичной дробью. Иррациональное же
число представляется непериодической
бесконечной десятичной дробью. Например,
рациональные числа
и
можно представить в виде следующих
десятичных дробей:
;
;
иррациональные числа
и
- в виде непериодических бесконечных
десятичных дробей:
Обозначение некоторых числовых множеств:
-
множество натуральных чисел – числа,
используемые при счете,
-
множество целых чисел – это натуральные
числа, числа, противоположные натуральным
и число 0,
-
множество рациональных чисел – целые
числа и дроби (положительные и
отрицательные),
-
множество действительных чисел –
рациональные и иррациональные числа.
Перечислим основные свойства вещественных чисел.
I. Сложение и умножение вещественных чисел.
Для
любой пары
и
вещественных чисел определены и при
том единственным образом два вещественных
числа
и
,
называемых соответственно их суммой и
произведением, причем имеют место
следующие свойства. Каковы бы ни были
числа
,
и
:
10.
- переместительный закон сложения.
20.
- сочетательный закон сложения.
30.
- переместительный закон умножения.
40.
- сочетательный закон умножения.
50.
- распределительный закон умножения
относительно сложения.
60.Существует
единственное число 0 такое, что
для любого числа
.
70.
Для любого числа
существует такое число
,
что
.
80.
Существует единственное число
такое, что для любого числа
имеет место равенство
.
90.
Для любого числа
существует такое число
,
что
;
число
обозначают также символом
.
II. Сравнение вещественных чисел.
Для
любых двух вещественных чисел
и
установлено одно из отношений:
(
равно
),
(
больше
)
или
.
Отношение = обладает свойством: если
и
,
то
.
Отношение > обладает следующими свойствами. Каковы бы ни были числа , и :
100.
Если
и
,
то
.
110.
Если
и
,
то
.
120.
Если
и
,
то
.
Вместо
пишут также
(
меньше
).
Запись
или, что то же,
)
означает, что либо
,
либо
.
Соотношения
,
,
,
называют неравенствами. Неравенства
и
- строгие неравенства.
III. Непрерывность вещественных чисел.
130.
Пусть X
и Y
– два множества, состоящие из вещественных
чисел. Тогда, если для любых чисел
и
выполняется неравенство
,
то существует хотя бы одно число
такое, что для всех таких
и
выполняется неравенство
.
(Свойством непрерывности не обладает множество только рациональных чисел.)
Из свойств I, II и III вытекают все остальные свойства вещественных чисел:
140.
Число
является решением уравнения
.
-
разность чисел
и
,
обозначается
.
150.
Число
является решением уравнения
,
если
.
Число
называется частным чисел
и
,
обозначается
.
160.
Если
,
то
.
170.
Если
и
,
то
.
180.
Если
и
,
то
.
190.
.
200.
.
210.
.
220.
.
230.
Если
и
,
то
.
240.
Если
и
,
то
.
250.
Если
,
то
.
260.
Если
,
то
.
Свойства I-III называются аксиомами вещественных чисел.
Комплексные числа.
Нахождение приближенных значений величин и погрешностей вычислений.
Тема 1.2. Корни, степени
Степени с действительными показателями.
Определение:
Степенью числа а с натуральным показателем
n(n>1)
называется произведение n
сомножителей, каждый из которых равен
а.
,
а1=а.
Определение: Если a≠0, то a0=1. Выражение 00 не имеет смысла.
Определение:
Если a≠0,
и n–
натуральное, то
Выражение 0-n не имеет смысла.
Определение.
Если a>0
и x
– рациональное число, представленное
дробью
,
где m
– целое, и n
≥ 2 – натуральное число, то:
;
если а
0
и x>0,
то ax
0.
Например,
при а≥0;
или
при b>0.
Свойства степени.
1°.
2°.
3°.
4°.
5°.
|
Свойства корня.
|
.
.
.
