1.5.1. Задача розподілу ресурсів у стохастичному варіанті
Нехай у результаті розподілу засобів Х на У і Х-У величина прибутку, q(y), приймає одне з двох значень: q1(y) із можливістю Р1 і q2(y) із можливістю Р2 = 1 - Р1 при зменшенні величини Y, відповідно, до a1у й а2у. Функція h(x-y) приймає значення h1(x-y) із можливістю q1 і h2(x-y) із можливістю q2=1-q1 при зменшенні х-у, відповідно, до b1(x-y) і b2(x-y).
Тому що ці події, що відбуваються з можливостями Р1 і Р2; q1 і q2 незалежні, то закон розподілу засобів, що залишилися після одного етапу можна записати
Кількість засобів |
а1у+b1(x-y) |
а2у+b1(x-y) |
а1у+b2(x-y) |
а2у+b2(x-y) |
Можливості |
p1q1 = p1 |
p2q1 = p2 |
p1q2 = p3 |
p2q2 = p4 |
причому pi = 1 0 < Pj < 1
Тоді при дотриманні принципу оптимальності
fN(x) = max {p1q1 [q1(y) + h1(x-y) + fN-1 (a1y + b1(x-y))] +
0<y<x
+ p2q1 [q2(y) + h1(x-y) + fN-1 (a2y + b1(x-y))] +
+ p1q2 [q1(y) + h2(x-y) + fN-1 (a1y + b2(x-y))] +
+ p2q2 [q2(y) + h2(x-y) + fN-1 (a2y + b2(x-y))]} (1.30)
f1(x) = max {p1q1 [q1(y) + h1(x-y)] + p1q2 [q1(y) + h2(x-y)] +
0<y<x
+ p2q1 [q2(y) + h1(x-y)] + p2q2 [q2(y) + h2(x-y)]} (1.31)
де 0 < a1; a2; b1; b2 < 1; 0 < p1; p2; q1; q2 < 1;
pi = qi = 1
1.5.2. Задача видобутку корисної копалини
Нехай є два родовища А та В корисної копалини, запаси якої відповідно дорівнюють х та у од. Для видобутку копалини використовується одна машина, що або з визначеною можливістю добуває частину золота, або виходить із ладу і надалі не використовується. Якщо машина працює на родовищі А, то з можливістю Р1 вона добуває частину r, наявного запасу і з можливістю 1-Р1 виходить із ладу. Якщо на родовищі В, то відповідні дані Р2; r2; 1-P2.
У якій послідовності варто використовувати машину на родовищах, щоб загальна кількість корисної копалини, добутої до виходу машини з ладу, була максимальною?
Рішення: Розіб'ємо період роботи машини на етапи. Процес використання машини можна почати або з родовища А, або з родовища В. Якщо машина не вийшла з ладу на попередньому етапі, то необхідно вирішити, на якому з родовищ її варто використовувати на наступному етапі.
Нехай fN(x;y) очікувана кількість корисної копалини, добутої до виходу машини з ладу.
Для одноетапного процесу f1(x;y) = max {p1r1x; p2r2y} (1.32).
Для N+1 етапного процесу очікувана кількість копалини при початковому виборі родовище
А — fА(x;y) = p1[r1x + fN(1-r1)] (1.33)
В — fВ(x;y) = p2[r2x + fN(1-r2)] (1.34)
Тоді основне функціональне рівняння для N-1 - етапного процесу
fN-1(x;y)=max[fA(x;y),
fB(x;y)]
= max
(1.35)
Використовуючи функціональні рівняння (1.32); (1.35) визначимо оптимальне поводження в трьох етапному процесі, якщо х=400; у=200; р1 = 0,7; r1 = 0,6; p2 = 0,8; r2 = 0,8.
Рішення. З (4.32) випливає, що роботу потрібно починати з родовища А, при цьому f1(x;y) = 0,7*0,6*400 = 168 од.
На початку 2-го етапу робимо вибір: продовжуємо роботу на родовищі А або почнемо на В, з урахуванням того, що на А залишилося (1-r1)х копалини
f1[(1-rA)
x;y]= max
=
128 од.
Отже, на 2-ому етапі машина повинна працювати на 2-ому родовищі.
На 3-му етапі вирішуємо використовувати машину на А або В з урахуванням кількості , що залишилася , корисної копалини
f1[(1-rA)x;
(1-r2)y]
= max
= = 67,2од.
Отже, на 3-му етапі машина повинна працювати на А. Таким чином, якщо на 1-ому етапі робота почата на А, то оптимальне поводження: 2-ой етап - У, 3-ий етап - А.
Нехай робота розпочата на В. Тоді на 1-ому етапі
f1(x;y) = p2r2y = 0,8*0,8*200= 128 од.
На початку 2-го етапу робимо вибір
f1[x
(1-r2);y]=
max
=
168 од.
т.ч. роботу варто починати на А на 2-ому етапі.
На початку 3-го етапу
f1[(1-r1)х;
(1-r2)y]
= max
= 67,2од.
т.ч. роботу варто продовжувати на А.
Т.ч., якщо на 1-ому етапі робота розпочата на В, то оптимальне поводження: А - на 2-ому і 3-му етапах.
Розглянемо двохетапний і трьох етапний процеси.
Вважаючи N = 1; 2 із (4.35) визначаємо вид функцій, необхідних для рішення задачі.
При N =1 f2
(x;y] = max
(1.36)
При N =2 f3
(x;y] = max
(1.37)
де f2
((1-r1)
x;y] = max
(1.38)
f2
(x; (1-r1)y)
= max
(1.39)
Для визначення f2 необхідно обчислити.
f1[(1-r2)2
х;y] = max
=
128 од.
Якщо 1-ий і 2-ий етап експлуатації А, а 3-й етап родовища В.
f1[х;
(1-r2)2
y] = max
=1628
од.
Підставляючи знайдені значення функцій у рівняння (1.36) - (1.39) одержимо для 2-х етапного процесу
f2
(x;y] = max
=262,4
од.
f2((1-r1)(x;y]=max
=181,7од
f2
(x1(1-r2)y]=
max
= 215,04 од.
т.ч. роботу на 1-ому етапі треба починати на родовищі
В. Для 3-х етапного процесу
f2
(x;y] = max
= = 300,032од.
т.ч. роботу на 1-ому етапі треба починати на В.
Таким чином, щоб у 3-х етапному процесі добути максимальну кількість корисної копалини (300,032 од) необхідно: 1-ий етап розробляти В, 2-ий і 3-й етапи - родовище А.
До стохастичних відносяться також такі задачі:
1) планування виробництва з урахуванням попиту і споживання;
2) керування запасами;
3) комплектування верстатного парку, якщо замовлення заздалегідь невідомі;
4) планування з/х виробництва і врожайності культур на різноманітних ділянках;
5) планування розвитку транспорту, пасажирських і вантажних перевезень і т.д.