1.5 Задача заміни устаткування

Постановка задачі. Нехай r(t) - вартість продукції, виробленої за рік на одиниці устаткування, вік котрого t років; L(t) - щорічні витрати на обслуговування цього устаткування; S(t) - залишкова вартість устаткування; Р - вартість нового обладнання.

Визначити оптимальний цикл заміни устаткування за період часу тривалістю N років, причому за ці N років прибуток f_N(t), повинний бути максимальний.

Зауваження. У аналізованому процесі вік устаткування відраховується у прямому напрямку, а етапи, на які розбитий процес, в зворотному. Тому t=0 відповідає початку використання нового обладнання.

Складемо функціональне рівняння, визначивши залежність між величинами, що входять до умов задачі, на двох суміжних етапах. Якщо зберегти устаткування, вік котрого t років, то прибуток підприємства від його використання складається з прибутку на N-ому етапі, отриманий як різниця r(t) - L(t) між вартістю виробленої продукції та експлуатаційних витрат, і прибутком, отриманим за N-1 етапів , що залишився , при роботі на устаткуванні, вік котрого t+1 років, тобто f _N(t) = r(t) - L(t) + f_N-1(t+1) (1.13)

Якщо на N-ому етапі устаткування, вік котрого t років, замінити новим, то прибуток після такої заміни складається з прибутку, отриманого як S(t) + r(0) - [P + L(0)], де r(0) - вартість продукції, зробленої на устаткуванні, вік котрого 0 років, а L(0) - експлуатаційні витрати, і прибутки, отримані за N-1 етапів , що залишилися в роботі на устаткуванні, вік котрого 0+1 років, тобто

f_N(t) = S(t)- P+ r(0)- L(0)+ f_N-1(t+1) (1.14)

Об’єднуючи (1.13) і (1.14) одержимо основне функціональне рівняння.

(1.15)

де верхній рядок визначає прибуток, отриманий при роботі на старому устаткуванні, нижній - на новому.

При цьому перехід на нове обладнання відбувається за 1 етап.

Вважаючи в (1.15) N=1 одержуємо функціональне рівняння одноетапного процесу, для котрого f_N-1(t+1) і f_N-1 (1) не має змісту. Тому

(1.16 )

Рівняння (1.15) і (1.16) дозволяють визначити величину f_N(t) у залежності від f_N-1(t+1), де при переході від одного етапу до іншого вік устаткування збільшується від t до t+1, а число етапів зменшується від N до N-1.

Приклад. Нехай Р=10, а S(t) = 0, тобто устаткування цілком себе окупило; r(t) - L(t) = (t), (t) - задано в таблиці 6.

Таблиця 6

t	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
(t)	10	9	8	7	6	5	4	3	2	1	0	0	0

Рівняння (1. 15-1. 16) приймають такий вигляд

(1.17 )

(1.18 )

Послідовно обчислимо максимальні f_N(t) для N =1;2;...;12 при t = 0;1; ...; 12, використовуючи значення (t) із таблиці 6.

При N=1 процес одноетапний, тому використовуємо (1.18)

і так далі. Результати в таблиці 7

Таблиця 7

t	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
етапи	N	N-1									3	2	1
f1(t)	10	9	8	7	6	5	4	3	2	1	0	0	0
f2(t)	19	17	15	13	11	9	9	9	9	9	9	9	9
f3(t)	27	24	21	18	17	17	17	17	17	17	17	17	17
f4(t)	34	30	26	24	24	24	24	24	24	24	24	24	24
f5(t)	40	35	32	31	30	30	30	30	30	30	30	30	30
f6(t)	45	41	39	37	36	35	35	35	35	35	35	35	35
f7(t)	51	48	45	43	41	41	41	41	41	41	41	41	41
f8(t)	58	54	51	48	48	48	48	48	48	48	48	48	48
f9(t)	64	60	56	55	54	54	54	54	54	54	54	54	54
f10(t)	70	65	63	61	60	60	60	60	60	60	60	60	60
f11(t)	75	72	69	67	66	65	65	65	65	65	65	65	65
f12(t)	82	78	75	73	72	72	72	72	72	72	72	72	72

При N > 2 використовуємо (1.17)

і т.д.

Для знаходження величини f₂(t) необхідно знайдені значення f₁(t) скласти в такому порядку:

f₂(0) = f₁(0) + f₁(1)

f₂(1) = f₁(1) + f₁(2)

і т.д., потім кожне отримане значення порівняти з f₁(1), тобто з 9. Якщо f₁(1) > f₂(t), то обчислення припиняються. У цей момент устаткування необхідно замінити, тому що розмір прибутку, одержуваного в результаті заміни, більше, ніж у випадку використання старого. Відзначаємо цей момент V і обчислення припиняємо. При N=3 із (4.17) випливає, що

f₃(0) = f₁(0) + f₂(1)

f₃(1) = f₁(1) + f₂(2)

f₃(2) = f₁(2) + f₂(3) і т.д.

Обчислення припиняємо, якщо f₃(k) < f₂(1) = 17.

Узагальнимо отримані результати. Починаючи з N=2, обчислення проводимо по формулі f_2+n(t)=f₁(t)+f_1+n(t+1) n = 0;1;2 ... , t =0;1;2; ..., порівнюючи отримані f із f_1+n(1). Якщо f_1+n(1)>f_2+n(t), обчислення припиняємо (заміна устаткування). Тому всі обчислення можна проводити без функціонального рівняння, безпосередньо в таблиці 7. За умовою, довжина етапу збігається з роком, тому рішення закінчуємо на дванадцятиетапному процесі.

За результатами обчислень, приведеними у таблиці 7 і лінії, що розмежовує області рішень зберігання і заміни устаткування, знаходимо оптимальний цикл заміни устаткування. У дванадцятиетапному процесі устаткування повинно бути замінене через чотири роки, тобто на 8-ом етапі; у восьмиетапному процесі - через чотири роки, тобто на 4-ом етапі, у чотирьохетапному процесі устаткування повинно замінятися також через 4 роки.

Таким чином, для одержання max прибутків в 12-ти етапному процесі оптимальний цикл складається в заміні устаткування кожні 4 роки.

Якщо в задачі заміни устаткування покласти, що вік устаткування t і етапи N відраховуються в прямому напрямку, то функціональне рівняння приймає такий вигляд

(1.19 )

де f(t) - сумарний прибуток, отриманий починаючи з N етапу і до кінця процесу на устаткуванні вік котрого t років на N-ом етапі. Верхня строчка визначає прибуток при зберіганні устаткування, нижня - при його заміні. Тут r(t) - вартість продукції, зробленої на N-ом етапі на одиниці устаткування; L_N(t) - витрати; r(0) - вартість продукції, зробленої на одиниці нового обладнання, L_N(0), відповідно, витрати, U_N(t) = P_N - S_N(t) - витрати по заміні устаткування на N етапі віку t років.

Необхідно в десятиетапному процесі тривалістю 10 років знайти цикл заміни устаткування, вік якого три роки, якщо відомі оцінки ефективності використання старого (таблиця 8) і нового (таблиця 9) устаткування, починаючи з моменту його виготовлення і до кінця аналізованого періоду.

Таблиця 8

Вік устаткування	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
r(t)	80	80	60	60	50	50	50	40	40	40	30	30
L(t)	20	35	55	55	55	60	60	60	60	65	65	70
U(t)	220	240	250	260	270	280	280	290	290	300	300	310

Час виготовлення устаткування відраховується від початку процесу, тобто якщо нове обладнання виготовлене в 1-ий рік, то старе устаткування має вік 3 роки, якщо в 2-ий - чотири роки і т.д.

Таблиця 9

Час виготовлення устаткування.	Вік устатку-вання	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
у 1-й рік	r(t)	90	85	80	75	70	70	70	60	60	60
	L(t)	20	20	25	25	30	30	35	40	45	50
	U(t)	200	220	240	250	255	260	265	270	270	270
у 2-й рік	r(t)	100	90	85	80	70	65	65	65	65	-
	L(t)	15	20	20	25	25	30	30	35	35	-
	U(t)	200	220	240	250	255	260	265	270	270	-
у 3-й рік	r(t)	110	105	100	95	90	80	70	60	-	-
	L(t)	15	15	20	20	25	25	30	30	-	-
	U(t)	200	220	240	250	255	260	265	270	-	-
у 4-й рік	r(t)	115	110	100	90	80	70	60	-	-	-
	L(t)	15	15	20	20	25	25	30	-	-	-
	U(t)	210	215	220	225	230	235	240	-	-	-
у 5-й рік	r(t)	120	110	105	100	90	80	-	-	-	-
	L(t)	10	15	20	20	25	25	-	-	-	-
	U(t)	210	215	220	225	230	235	-	-	-	-
у 6-й рік	r(t)	125	120	110	105	100	-	-	-	-	-
	L(t)	10	10	10	15	15	-	-	-	-	-
	U(t)	210	220	230	240	250	-	-	-	-	-
у 7-й рік	r(t)	135	125	110	105	-	-	-	-	-	-
	L(t)	10	10	10	10	-	-	-	-	-	-
	U(t)	210	220	230	240	-	-	-	-	-	-
у 8-й рік	r(t)	140	135	125	-	-	-	-	-	-	-
	L(t)	5	10	10	-	-	-	-	-	-	-
	U(t)	220	230	240	-	-	-	-	-	-	-
у 9-й рік	r(t)	150	140	-	-	-	-	-	-	-	-
	L(t)	5	10	-	-	-	-	-	-	-	-
	U(t)	220	225	-	-	-	-	-	-	-	-
у 10-й рік	r(t)	155	-	-	-	-	-	-	-	-	-
	L(t)	5	-	-	-	-	-	-	-	-	-
	U(t)	220	-	-	-	-	-	-	-	-	-

Рішення починаємо з кінця процесу N=10, тобто знаходимо

(1.20)

Надаючи t=1; ...; 10 і з огляду на те, що устаткування, вік якого t років, виготовлено в 10-t рік від початку процесу, на підставі даних таблиці 9, одержуємо (використовуючи оцінки устаткування виготовлені в 9 і 10-й роки)

і т.д.

При t = 10; 11; 12 для визначення r₁₀(t), L₁₀(t), U₁₀(t) використовуємо оцінки старого устаткування, приведені в таблиці 8

і т.д. Результати записуємо в таблицю 10.

Для знаходження наступних f(t) при t = 9, 8, ..., 1 використовуємо результати таблиці 10 і рівняння (1.19). При N=9 і t=1; ...; 12 одержуємо

і т.д. При t = 9; 10; 11; 12 використовуємо оцінки, приведені в таблиці 8

і т.д.

Таблиця 10

	t
fN(t)	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
	N		1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
f10(t)	130	115	95	85	55	30	30	30	10	-25	-35	-40
f9(t)	240	195	175	120	75	70	60	25	-15	-25	-25
f8(t)	310	275	200	145	125	110	105	85	85	75
f7(t)	385	285	215	190	175	170	155	145	145
f6(t)	380	295	265	245	240	225	215	210
f5(t)	390	345	300	280	220	210	210
f4(t)	435	365	330	230	220	210
f3(t)	435	395	280	270	250
f2(t)	460	325	275	260
f1(t)	485	320	280

Лінія розмежовує області рішень, що полягають у зберіганні і заміні устаткування.

Т.ч. для одержання максимального прибутку від використання устаткування в 10-ти етапному процесі оптимальний цикл заміни устаткування повинний складатися в заміні устаткування на 1-ому етапі, вік котрого 3 роки. Нове обладнання використовується до 5-го етапу, на якому воно знову замінюється, робота на цьому устаткуванні продовжується до 10 етапу, на якому воно знову замінюється