1.4 Метод функціональних рівнянь.

Як показав Р. Бельман, знаходження оптимального рішення багатоетапного процесу зводиться до вирішення деякого функціонального рівняння. Роздивимося приклад багатоетапного процесу розподілу. Нехай є деяка кількість засобів х, які треба вкласти в розвиток двох неоднорідних підприємств. Відомо, якщо в перше підприємство вкласти у, а в 2-е - х - у засобів, то прибуток буде відповідно g(у) і h(х-у). Необхідно вибрати у так, щоб загальний прибуток

W1(х; у) = g(y) + h (x-y) (4.1.) був максимальний.

Таким чином, потрібно визначити max W1 (x; y)

Якщо g(y) і h(x-y) функції безперервні для х > 0, то така задача має рішення. Цей процес одноетапний.

Зауваження. х і g(y) можуть вимірюватися в різних величинах наприклад, х - грошова сума, g(y) кількість людино-годин, зекономлених у результаті застосування машин, куплених за засоби у.

Ускладнимо задачу. Розглянемо двохетапний процес. Припустимо, що за рахунок витрат, необхідних для одержання прибутку g(y), початкова кількість засобів зменшується до а. у, 0 < a < 1, аналогічно для 2-го підприємства: х-у зменшується до b(х-у), 0<b<1. Таким чином, після здійснення одноетапного процесу залишок засобів складає ау + b(х-у). Повторимо процес розподілу сумарного залишку, вважаючи, що ау + b(х-у) = х₁ = у₁ + (х₁-у₁), де 0 < y₁ < x₁. У результаті цього розподілу на 2-ом етапі одержимо прибуток g(y₁) + h(x₁-y₁), а повний прибуток за два етапи W₂(x, y, y₁) = g(y) + h(x-y) + g(y₁) + h(x₁-y₁), причому max W₂ (x, y, y₁) знаходиться по двохмірної області 0 < y < x, 0 < y₁ < x₁.

Роздивимося N-етапний процес, у якому операція розподілу повторюється послідовно N разів. Визначимо повний прибуток від цього процесу

W_N(x; y; y₁; ... ; y_N-1)=g(y)+h(x-y)+g(y₁)+h(x₁-y₁)+ ... +g(y_N-1)+h(x_N-1-y_N-1) (1.1)

де x₁ = ay + b(x-y); 0 < y < x

x₂ = ay₁ + b(x₁ - y₁) 0 < y₁ < x₁ (1.2)

x_N-1 = ay_N-2 + b(x_N-2 - y_N-2) 0 < y_N-2 < x_N-2 0 < y_N-1 < x_N-1

Одержуємо max W_N по області (1.2.), N - мірної області. Рішення такої задачі складне. Тому вирішимо задачу поетапно, наслідуючи принципу умовної оптимальності в N-етапному процесі. Визначимо функцію f_N(x) як максимум прибутку, отриманого від N-етапного процесу, що починається з розміру х, для N=1, 2, ..., і x > 0, тобто f_N(x) = max W_N(x; y; y₁; ... ; y_N-1) (1.3)

0<y<x

f₁(x) = max g(y) + h(x-y) (1.4)

0<y<x

Розглянемо двохетапний процес. Повний прибуток складається з прибутків 1 і 2-го етапів, причому на 2-ому етапі для розподілу залишається сума ау+b(x-y). Необхідно одержати максимальний прибуток, тому якою б не була обрана у, сума, що залишилася до наступного етапу ау + b(х-у), повинна бути використана щонайкраще (принцип умовної оптимальності), тобто від другого етапу одержимо прибуток f_1[ay + b(x-y)]. Тоді повний max прибуток за два етапи висловиться рекурентним співвідношенням

f₂(x) = max {g(y) + h(x-y) + f₁[ay + b(x-y)]} (1.5)

0<y<x

Міркуючи аналогічно, у випадку N-етапного процесу отримуємо основне функціональне рівняння

f(x) = max {g(y) + h(x-y) + f_N-1[ay + b(x-y)]} (1.6)

0<y<x

Використовуючи (1.6.) знаходимо f₁, потім f₂ і т.д., причому на кожному k-етапі одержуємо й оптимальне у_k(х).

Застосування розглянутого методу функціональних рівнянь до рішення задач Д.П. дозволяє призвести рішення однієї N-мірної задачі до послідовності однотипних рішень N одномірних задач.

Якщо врахувати, що в Д.П. процес розглядається від кінця до початку, то типове функціональне рівняння, що описує дискретний процес має вигляд

f_N(x) = max [g_N(y_N) + f_N-1(x-y_N)] (1.7)

0<y_N<x

де f - критерій процесу, N - число етапів, х - змінна, що характеризує стан процесу на N-ому етапі, f_N(x) - результуюче значення критерію, що може бути отримане за N- етапів, що залишилися, починаючи зі стану x, y_N - керуюча перемінна, від вибору якої залежить величина f_N; g_N(x_N) - величина критерію, отримана на N-ому етапі при оптимальному виборі y_N, 0<y_N<x; f_N-1 (x-y_N) - результуюче оптимальне значення критерію за N-1 етапів , що залишилися, починаючи зі стану x - y_N.

Нехай на N-ому етапі обране оптимальне рівняння y_N = y_N*. Тоді стан системи на N-1 етапі описується функціональним рівнянням

f_N-1(x-y_N*) = max [g_N-1(y_N-1) + f_N-2(x-y*-y_N-1)] (1.8)

0<y_N-1 <x-y_N*