4.7. Розв’язання ігор mn

Із збільшенням m та n виникають труднощі аналізу ігор, але основні принципи формування залежностей, що пов'язують P_1b, P_1b і γ залишаються попередніми.

Нехай дана гра mn у нормальній формі, тобто задана матриця платежів А. Знайти S^*_A і S^*_B.

Нехай S^*_A застосовується проти чистої стратегії S_jb (j=1,…,n)... Тоді γ=а_1jP^*_1a+а_2jP^*_2a+…+ а_mjP^*_ma; .

Аналогічно при використанні S^*_B проти S_ia (i=1,…,m)... Тоді γ=а_i1P^*_1b+а_i2P^*_2b+…+ а_inP^*_nb; .

У результаті одержали систему m+n-2 рівнянь із m+n+1 невідомими P^*_ia; P^*_jb та γ. Вирішуючи їх можна знайти невідомі, тобто рішення гри.

Можна вирішувати гру іншим способом, шляхом переходу до еквівалентних задач лінійного програмування.

Введемо у розгляд функції

γ_j=а_1jP_1a+а_2jP_2a+…+ а_mjP_ma; j=1,…,n.

γ_i=а_i1P_1b+а_i2P_2b+…+ а_jnP_mb; i=1,…,m.

; .

Одержуємо

^(4.5)

Так як оптимальна гра припускає перехід від А до А+c без порушення оптимальності, то можна вважати, що усі а_ij>0. Тоді і ; . Тоді від (4.5) можна перейти до

(4.6 ),

де

Прагнення сторони А максимізувати виграш рівносильне вимозі . Для сторони В min ~ .

Отже одержимо дві оптимальні задачі Л.П.:

(4.7)

(4.8)

Загальний алгоритм рішення гри mn без сідлової точки:

1. матриця А приводиться шляхом додавання С до а_ij+С>0;

2. при рішенні задач (4.7 – 4.8) розглядається нова матриця А^*>0;

3. задача (4.7 і 4.8) вирішуються і знаходяться x^*_i, y^*_j, z^*, ^*;

4. шукані P^*_ia; P^*_jb і γ обчислюються: γ =¹/_z*=¹/ _*, ,

.

При поверненні до вихідної матриці А P^*_ia і P^*_jb залишаються без змін, а γ зменшується на С.

Приклад 7. Дана гра 33 (матриця А). Вирішити двома засобами: безпосереднім аналізом і переходом до К.З.Л.П. α=-4<β =3 - тобто немає сідлових точок.	1	-4	3
	-4	3	-6
	3	-6	5

Спосіб 1.

Безпосереднім аналізом.

Вирішуючи систему рівнянь методом виключення P_1a і γ одержуємо систему двох рівнянь . У результаті P_1a=¹/₄, P_2a=¹/₂, P_3a=¹/₄, γ=-1.

Одержимо S^*_A=S^*_B=(¹/₄,¹/₂,¹/₄), γ =-1.

Спосіб 2. Перетворимо А тому що є а_ij<0.

Візьмемо матрицю А* = {аij+7}.  Сформуємо дві задачі Л.П.:	8	3	10
	3	10	1
	10	1	12

min z=x₁+x₂+x₃, max = y₁+y₂+y₃.

Розв'язавши ці задачі симплексним методом, ми одержимо:

x^*₁=¹/₂₄; x^*₁=¹/₁₂; x^*₁=¹/₂₄; z^*=¹/₆; γ =¹/ _z*=6; P^*_2a=γx^*₂=¹/₂; P^*_3a=γx^*₃=¹/₄; P^*_1a=γx^*₁=¹/₄, тобто S^*_A= (¹/₄,¹/₂,¹/₄).

Аналогічно для y та S^*_B.

Зауваження 2. Для повернення до вихідної задачі й одержання величини виграшу треба від γ-7=6-7=-1.