4.6. Рішення ігор 22, 2n, m2. Графоаналітичний метод

Припустимо, що гра 22, задана матрицею А не має сідлової точки і потрібно знайти її рішення S^*_A={P^*_1a,P^*_2a}; S^*_B={P^*_1b,P^*_2b}.

	S1b	S2b	Відповідно до теореми про активні стратегії, сторона А, дотримуючись оптимальної стратегії S*A забезпечить собі виграш γ навіть, якщо В буде використовувати не оптимальну стратегію S*B, а окремі S1b, S2b.
S1a	а11	а12
S2a	а21	а22

Тоді а₁₁ P^*_1a+ а₂₁ P^*_2a=γ (в B - стратегія S_1b)

і а₁₂ P^*_1a+ а₂₂P^*_2a=γ (в B - стратегія S_2b) (А)

Аналогічно для оптимальної стратегії B - S^*_B

а₁₁ P^*_1b+ а₂₁ P^*_2b= γ (в А - стратегія S_1а)

і а₁₂ P^*_1b+ а₂₂ P^*_2b= γ (в А - стратегія S_2а) (В)

Невідомими в цих формулах є P^*_1a, P^*_2a, P^*_1b, P^*_2b та γ, що обчислюються по формулах (рішення системи трьох рівнянь з трьома невідомими).

Для системи (А)

; ; (4.2)

Для системи (В)

; ; (4.3)

Для (2 - 3) або тоді та . (4.4)

Виконання (2.4) означає відсутність сідлової точки у матриці А (немає елемента мінімального в рядку і максимального в стовпчику).

Звернемося до геометричної інтерпретації результатів. Нехай S_A={P_1a,P_2a} - довільна змішана стратегія А проти чистої S_1b - В і середньоочікуваний виграш γ₁=а₁₁P_1b+а₂₁P_2b=(а₁₁-а₂₁)P_1а+а₂₁. Те ж саме відноситься до чистої стратегії В - S_2b: γ₂=а₁₂P_1а+а₂₂P_2b=(а₁₂-а₂₂)P_1а+а₂₂.

Але ні S_1b, ні S_2b не оптимальні для В. Сторона А повинна розраховувати на виграш .

При заданих а_ij γ₁ і γ₁ - функції від P_1а, отже й і її значення збігаються або з γ₁ (γ₁<γ₂), або з γ₂ (γ₁>γ₂).

Отже, можна побудувати графік і знайти S_A, γ . Для А у залежності від (2.4) буде мати місце або мал.2, або мал.3.

                     або

    

Мал.2.     Мал.3.

Сторону А цікавить те P_1a, при якому - максимальне. Прямі будуються по точках (0,а₂₁); (1,а₁₁); (0,а₂₂); (1,а₁₂). P^*_1a одержуємо, прирівнюючи γ₁ і γ₂  (а₁₁-а₂₁)P_1а+а₂₁=(а₁₂-а₂₂)P_1а+а₂₂, відкіля й одержуємо формулу (2) для P^*_1a: .

Величини P^*_1b і P^*_2b визначаються в залежності від (4) аналогічно, мал.4, мал.5, але в побудовах беруть участь точка (0,а₁₂) і (1,а₁₁) для γ₁ і (0,а₂₂) і (1,а₂₁) для γ₁₁ і замість розглядається , де γ₁=а₁₁P_1b+а₁₂P_2b, γ₁₁=а₂₁P_1а+а₂₂P_2b і відшукується .

або

        Мал.4. Мал.5.

Приклад 5. Дана гра

2	-1
-3	4

Знайти оптимальні стратегії сторін. а₁₁=2; а₂₁=-3; а₁₂=-1; а₂₂=4

Переконаємося, що немає сідлових точок.

Обчислимо α =max{-1;-3}=-1, β =min{2;4}=2, α β . По точках (0; -3) і (1;2) будуємо пряму , мал.6, по (0;4) і (1;-1) - пряму , мал.6. По точках (0;-1) і (1;2) будуємо пряму , мал.7, по (0;4) і (1;-3) - пряму , мал.7.

Мал.6. Мал.7.

Max досягається при P^*_1а=0,7 і дорівнює 0,5; - при P^*_1b=0,5 і дорівнює 0,5. Слушність можна перевірити по формулах (2 і 3).

Тоді S^*_A=(0,7;0,3); S^*_B=(0,5;0,5).

Нехай задана гра 2n, що не має сідлових точок. Знайдемо її рішення: S^*_A={P^*_1a,P^*_2a}; S^*_B={P^*_1b,P^*_2b,…,P^*_nb}... Застосовуючи проти кожної із окремих стратегій S_jb S^*_A, одержимо γ=а₁₁P^*_1a+а₂₁P^*_2a;…;γ= =а_1nP^*_1a+а_2nP^*_2a. Точно також, застосовуючи проти кожної S_ia S^*_B, одержимо γ=а₁₁P^*_1b+а₁₂P^*_2b+…+ а_1nP^*_1a; γ =а₂₁P^*_1b+а₂₂P^*_2b+…+ а_2nP^*_nb; .

Аналітичне рішення цих систем більш складне, чим 22. Тому вирішимо графічно.		S1b	S2b	…	Snb
	S1a	а11	а12	…	а1n
	S2a	а21	а22	…	а2n

Загальна схема пошуку S^*_A, S^*_B:

1. за даними матриці будуємо n прямих γ₁=(а₁₁-а₂₁)P_1а+а₂₁, γ₂=(а₁₂-а₂₂)P_1а+а₂₂,…,γ_n=(а_1n-а_2n)P_1а+а_2n, і креслимо графік , на ньому знаходиться екстремальна точка (P^*_1a;γ);

2. вибираються дві будь-які прямі з протилежним нахилом із тих, що перетинаються у цій точці;

3. прямим стратегії, що відповідають цим S_rb S_kb включаються в гру 22 проти S_1а S_2а.

4. отримана гра 22 вирішується аналітично за допомогою формул або графічно.

Аналогічно для рішення гри m2. Єдина відмінність буде полягати в тому, що будують прямі γ_i=(а_i1-а_i2)P_1b+а_i2, i=1,2,…,m і знаходимо , мінімум досягається в P^*_1b і точка (P^*_1b,γ) використовується для переходу до гри 22.

Приклад 6. Дана гра 42. Вона не має сідлових точок α =1< β =3. Будуємо прямі γi=(аi1-аi2)P1b+аi2, i=1,2,3,4, мал. 8. γ1=(а11-а12)P1b+а12=(3-1) P1b+1= 2P1b+1, γ2=(а21-а22)P1b+а22= -5P1b+3, γ3=(а31-а32)P1b+а32=8P1b-3, γ4=(а41-а42)P1b+а42= -1,5P1b+2.		S1b	S2b
	S1a	3	1
	S2a	-2	3
	S3a	5	-3
	S4a	0,5	2

Знаходимо P^*_1b=0,29, γ =1,56. Через цю точку проходять прямі γ₁, γ₂, γ_4. Тому сторона А має три активні стратегії S_1a, S_2a, S_4a.

2. вибираємо з цих трьох прямих дві з протилежними нахилами, наприклад, γ₁ та γ_2.

3 1 -2 3 одержуємо гру 22; знаходимо по формулах

Одержали те ж саме, що і графічно. У такий спосіб S^*_A=(²/₇,⁵/₇,0,0), S^*_B=(²/₇,⁵/₇), γ =¹¹/₇.

Якщо вибрати γ₁ та γ₄, то одержимо гру

3	1
½	2

та її рішення S^*_A=(³/₇,0,0,⁴/₇), S^*_B=(²/7,⁵/₇), γ =¹¹/₇.