1.2 Принцип поетапної побудови оптимального керування.

Д.П. являє собою поетапне планування багатошагового процесу, при якому на кожному етапі, з огляду на розвиток усього процесу, оптимізують тільки один крок, тобто при прийнятті рішення враховується майбутнє. Проте в кожному процесі є останній k-ий крок, прийняття рішення на якому не залежить від майбутнього. Тому на цьому крокові вибирають керування, що дозволяє одержати найбільший ефект. Спланувавши цей крок, до нього можна приєднати передостанній k-1 крок, до якого, у свою чергу k-2 і т.д. В остаточному підсумку приходять до початкового стану S₀. Процес Д.П. так би мовити «розвертається» від кінця до початку.

Формалізуємо сказане. Нехай на (k-1)- ому кроку можливі стани системи S_{k-1, i} (i = 1, 2, ... , r). На останньому k-ому крокові знайдемо для кожного з них оптимальні керування U*_k;i (S_k-1,i) i = 1; ...; r, що називаються умовно оптимальними. Таким чином, k-й крок спланований, тому що який би стан не мала система на k-ому кроці відомо, яке керування треба приймати на k-ому кроці. Аналогічно вчинюють на k-1-ому кроці, тільки умовно оптимальне керування на цьому крокові треба обирати з урахуванням умовно оптимальних рішень на k-ому крокові і т.д. У результаті ми прийдемо до початкового стану S₀ Є ₀.

Для 1-го кроку можливий стан системи одне S₀, причому воно відоме, тому знаходимо для нього оптимальне керування з урахуванням знайдених умовно оптимальних керувань для 2-го кроку. Проходячи тепер навпаки від S₀ до S_k, одержуємо шукане оптимальне керування для всього процесу.

Зауваження 1. З принципу поетапної побудови оптимального керування випливає, що критерій W повинний мати властивість адитивності, тобто , де W_i значення критерію на i-ому етапі.

Принцип, у якому оптимальне продовження процесу відшукується відносно стану, досягнутого в даний момент, називається принципом оптимальності Р.Белмана.

1.3 Задача про мінімізацію витрат пального літаком при наборі висоти і швидкості.

Постановка задачі. Нехай літак, що знаходиться на висоті H₀ і має швидкість V₀ повинний піднятися на висоту Н_k і набрати швидкість V_k. Відома витрата пального при підйомі літака з будь-якої висоти Н₁ на будь-яку висоту Н₂ > Н₁ при постійній швидкості, а також витрата пального при збільшенні швидкості від будь-якої V₁ до V₂ (V₂ >V₁) при незмінній висоті. Знайти оптимальне керування набором висоти і швидкості, при якому витрати пального мінімальні.

Рішення. Т. я. стан системи S (літака) визначається двома параметрами: швидкістю V і висотою Н, причому V₀<V<V_k, H₀<H<H_k, то рішення (траєкторію польоту) будемо шукати на площині V0H, а точне на прямокутнику,

що і є областю припустимих рішень. Для рішення задачі методом Д.П. розіб'ємо відрізок [H0; Hk] на n1 відрізків довжини , а [V0; Vk] на n2 відрізків довжини ,

Умовимося вважати, що за один крок (етап) літак може або збільшити висоту на Н , або швидкість на V. Очевидно, існує множина траєкторій польоту літака, ламаних ліній, по яких точка S може переміщатися з S₀ у S_k. Потрібно знайти таку траєкторію, що дозволяє мінімізувати W, витрату пального. Можна перебрати всі можливі траєкторії польоту і вибрати найкращу, але якщо n₁ і n₂ великі, то це трудомістке навіть із застосуванням ЕОМ.

Простіше вирішується задача методом Д.П. Розглянемо рішення задачі, умови якої наведені на мал. 2. Числа на вертикальних лініях означають витрату пального при наборі висоти з постійною швидкістю на даному етапі, а числа на горизонтальних лініях - витрату пального при збільшенні швидкості без зміни висоти.

Точки перетинання вертикальних і горизонтальних прямих назвемо вузлами, котрі ми будемо позначати кружечками. Весь процес розіб'ємо на етапи в залежності від числа кроків до пункту S_k. Очевидно, що до одного етапу будуть належати вузли, що лежать на рівнобіжних відрізках, зображених, на мал. 2. Число етапів k = n₁ + n₂ = 3 + 5 = 8. Так як умовну оптимізацію почнемо з кінця, тобто від стану S_k, то до першого кроку, належать вузли А₁, В₁. У кружечках будемо записувати умовно оптимальні значення витрати пального, а строчками на кожному кроці будемо позначати умовно оптимальні траєкторії, і т.д. Після 8-го кроку ми приходимо в точку S₀. Рухаючись з урахуванням умовно оптимальних траєкторій, позначених стрілками з точки S₀ у точку S_k ми одержимо оптимальну траєкторію для всього процесу, якій відповідає мінімальна витрата пального = 67 од. Як випливає з мал. 2 оптимальне керування не єдине.

У розглянутій задачі значно спрощений процес, тому що не враховується можливість одночасного набору висоти і збільшення швидкості.

Розглянемо модель, що враховує цей факт. Очевидно, що це буде прямування по діагоналі в напрямку до Sk. Тепер кожна вузлова точка, за винятком точок, що лежать на прямих Н=Нk і V=Vk, пов'язана з трьома іншими. Старий засіб нумерації числа кроків не проходить, тому що він не враховує додатковий зв'язок по діагоналі. Нумерацію вузлових точок по кроках

зручніше усього провести по ознаці їхніх координат, наприклад, по величині залишку швидкості, яку повинний набрати літак за кроки, що залишилися. При такій нумерації останнім кроком є той, що переводить точку S із вертикальної прямої k-1 на вертикальну пряму k, передостаннім - той, що переводить т. S з прямої k-2 на k-1 і т.д.

Побудуємо оптимальні рішення процесів. Умовно оптимальні рішення, як і раніше, будемо зображувати стрілками, а мінімальну витрату пального записувати в кружках.

Рухаючись від S₀ до S_k по умовно оптимальних рішеннях, ми одержуємо оптимальне рішення, причому таких рішень два, обидва вони забезпечують мінімальних витрату пального, рівну 58 од.