4.3. Проблема рівноваги в грі, чисті і змішані стратегії

Якщо =, то в платіжній матриці присутній елемент a_pq, який мінімальний в р - рядку і max в q- стовпці і a_pq=  = .

Приклад такої матриці

16	-22	-7	14	-8
11	10	8	15	21	a23=8=apq
6	-9	6	13	-13
2	6	-5	-3	4

Очевидно, що елемент a_pq являє собою сідлову точку, що поєднує в собі і властивості т. min (для однієї перспектної) і точку max для іншої.

Такі ігри називаються іграми з сідловою точкою, мал.1.

Для таких ігор характерно, що відмова від мінімаксної стратегії будь-якого з учасників призводить його до програшу.

Мал.1.

Положення, при якому немає сенсу міняти стратегію жодної з сторін, називається ситуацією рівноваги. В іграх з сідловою точкою така ситуація виникає, якщо А та В використають стратегії S_pa і S_qb, що називаються чистими. a_pq== називається чистою ціною гри, а стратегії S_pa і S_qb - оптимальними.

Чисті стратегії застосовуються, коли А та В володіють відомостями про дії один іншого і про їх результати. Якщо такої інформації немає, то принцип рівноваги порушується і гра ведеться безсистемно, тобто наосліп. Тому треба розрізняти ігри з повною інформацією, коли будь-який учасник знає всю передісторію ігри та ігри з неповною інформацією, в яких знання передісторії обмежене (наприклад, можливістю приховати від супротивника хід).

Ми будемо розглядати ігри з повною інформацією та з однією сідловою точкою, бо за наявності двох сідлових точок a_pq і a_zt, можна показати, що a_pq=a_zt.

Хоча на практиці найбільш розповсюджений випадок, коли платіжна матриця взагалі не має сідлової точки та   .

Якщо в гру привноситься елемент випадку, тобто стратегія S_ia буде обрана з ймовірністю P_ia, то можна говорити про розподіл ймовірності на множині стратегій сторони А, причому .

А самий розподіл {P_1a, P_2a,…,P_ma}=S_A називається змішаною стратегією, якою володіє А в даній грі.

Аналогічно для B вводиться змішана стратегія S_B={P_1b,P_2b,…,P_nb}, тобто деякий розподіл.

Чисті стратегії являються окремим випадком змішаних, наприклад, стратегію S_PA можна задати S_A={0, …,0,1, …,0}

При виборі змішаних стратегій зберігається принцип min max.

Нехай {S_А} - множина змішаних стратегій А, а {S_В} - множина змішаних стратегій В. Тоді середня величина (мат. сподівання) платежу:

(4.1)

Це виграш А, отже програш В.

Сторона А повинна орієнтуватися на гірше (принцип гарантованості результату). Тоді - оптимальна стратегія S_a. Аналогічно - оптимальна стратегія S_b. Але такі рішення тільки в простих випадках.