4.1. Визначення гри, види моделей

Конфліктна ситуація вважається заданою, якщо відомі:

а) сторони, що беруть участь у конфлікті, позначимо {А, В, С,...}=W

б) їх стратегії (лінії поведінки) {S_A, S_B, S_C,...}=S

в) очікувані результати, виходи {J_A, J_B, J_C,...}=J

г) зацікавленість в цих результатах та її вираження. Для вираження зацікавленості у кількісній формі вводять на множині {J} числову функцію виграшу або платіжну функцію ПС (І). Вона визначає величину виграшу (позитивного або негативного) одержуваного стороною С від виходу І  J.

Якщо в конфліктній ситуації задані всі означені її компоненти (а-г), то ця система умов (а-г) і називається грою.

Приклад 2. Підприємства А та В можуть випускати однакові види продукції. При виборі виробничих планів (які види і скільки продукції випускати) виникає конфліктна ситуація, що призводить або до перевиробництва одних і нестачі інших видів продукції.

Збалансувати ситуацію допоможе ігрова модель, де а) W={A; B}; б) S={S_1a, S_2a,..., S_1b; S_2b,...}, де S_ia, S_jb - i стратегія заводу А, j - стратегія заводу В. В результаті споживач отримає тільки ту продукцію, яка передбачена цими планами (вихід U_ij) Виграш А - ПА (U_ij), виграш В В - ПВ (U_ij) . Тут присутні усі елементи гри.

Ігри класифікуються за різними ознаками.

Якщо у грі більше однієї активної сторони, що бере участь, то це стратегічна гра.

Якщо тільки одна діюча і декілька зацікавлених сторін, то це нестратегічна гра.

Якщо число стратегій кінцеве у всіх сторін, то гра кінцева, в противному випадку нескінченна.

Кінцеві ігри зручно представляти у матричній (табличній) формі і їх називають матричними.

Стратегічні ігри називаються безкоаліційними, якщо кожна сторона, що оперує являється й зацікавленою. Тут виключена можливість коаліцій поміж учасниками на основі збігу інтересів і цілей.

Безкоаліційна гра, для якої ПА(U_ij)=ПВ(U_ij)=a_ij називається антагоністичною (або грою двох осіб з нульовою сумою) ПА(U_ij)+ПВ(U_ij)=0.

Якщо ПА (U_ij)+ПВ (U_ij)0, то це гра двох осіб з ненульовою сумою.

4.2. Антагоністична гра у нормальній формі. Принцип гарантованого результату

Так як антагоністичні ігри володіють тієї властивістю, що виграш одного (А) дорівнює програшу іншого (В), то всі необхідні дані можна помістити в таблицю (матрицю). Елементи матриці, числа a_ij. Така матриця - це нормальна форма подання ігри і називається вона платіжною (ігровою) матрицею, a_ij - виграш (програш) гравців. Гру, що представлена матрицею, називають грою mn.

Табл.1.1

В А	S1b	S2b	- - -	Snb
S1a	a11	a12	- - -	a1n
- - - -
Sma	am1	am2	- - -	amn

Нехай задана антагоністична гра в нормальній формі, тобто матрицею табл.1.1.

Знайдемо оптимальну стратегію гравців.

Очевидно, що для А при використанні стратегії S_1а гарантованим виграшем буде найменше з a₁₁, a₁₂,..., a_1n, тобто ₁. Кращого результату, при правильній стратегії В, очікувати не доводиться.

Таким же чином А може розраховувати при виборі стратегії S_2a, на min {a₂₁,..., a_2n}=₂, тобто у випадку стратегії S_ka на min {a_kj}= _k і т. і.

Найкращої з всіх стратегій для А буде та, для якої  _k - max, тобто виграш А ((гарантований)  =max  _k =max min {a_kj}

1<k<m 1<k<m 1<j<n

Така стратегія називається максимінною.

Якщо А буде дотримуватись максимінної стратегії, то поза залежністю від стратегії В він виграє не менше .

Тому  - це нижня ціна гри або максимінний виграш.

Аналогічне міркування для В, оскільки йдеться про програші сторони А, так як в антагоністичній грі ПВ(U_kj)=-ПА(U_kj)=-a_kj. Тоді при стратегії S_kb це найкращий показник. В_j=max{a_kj} =>В=minВ_j= min max a_kj

1<k<m 1<j<m 1<j<n 1<k<m

- де В - min програш з усіх max. Така стратегія B називається мінімаксною, а В - верхньою ціною гри або мінімаксним програшем. Це результат, що не залежить від поведінки А.

В проведеному аналізі кожна із сторін була орієнтована на гіршу, з її точки зору ситуацію, а після цього з всіх гірших вибиралася найкраща. Цей принцип - принцип гарантованого результату (або принцип мінімаксу). Він припускає відсутність ризику.