3.2.1. Сталий режим обслуговування. Формули Ерланга

Розглянемо n-канальну С.М.О. з відмовами при всіх допущеннях, розглянутих раніше. Виникає питання: чи буде стаціонарним випадковий процес, що протікає в системі? Очевидно що на самому початку, відразу після включення системи в роботу, він буде не стаціонарним, “перехідним”. Проте, через деякий час, цей перехідний процес згасне і система перейде на “сталий” стаціонарний режим, характеристики якого не будуть залежати від часу. Так як із графа станів випливає, що за кінцеве число кроків ми можемо потрапити з будь-якого стана в будь-який інший, то за теоремою Маркова для Н.М.Л. (ерготична властивість). С.М.О. має ерготичну властивість, тобто

Одержали, що в “сталому” режимі ймовірності станів не залежать від часу. Тоді (t) = 0, і з (34) одержуємо систему алгебраїчних рівнянь

(2.35 )

До цих рівнянь необхідно додати P_k = 1 (2.36)

Якщо розв'язати цю систему рівнянь, починаючи з 1-го, то отримаємо

, і т.д. (2.37)

Введемо

(2.38)

приведену щільність потоку заявок або =m_tоб. - середнє число заявок, що припадають на середній час обслуговування однієї заявки.

Тоді із (2.37)

(2.39)

З огляду на (2.14)

(2.40)

Відкіля

(2.41)

і k = 0, ... , n (2.42)

(2.42) називаються формулами Ерланга. Вони дають граничний закон розподілу числа зайнятих каналів у залежності від характеристик потоку заявок і продуктивності системи обслуговування і числа каналів. Знаючи P_k, k = 0, ..., n можна знайти характеристики ефективності СМО: ймовірність відмови Р_відм, відносну пропускну спроможність q, абсолютну пропускну спроможність А.

Р_вілм. = (2.43)

q = 1 - P_n (2.44)

A = q = (1 - P_n) (2.45)

Важливою характеристикою С.М.О. із відмовами є середнє число зайнятих каналів (воно збігається із середнім числом заявок у системі) (2.46)

Проте простіше К = M(i), через А. А = q - є середнє число заявок, що обслуговуються в одиницю часу. Один зайнятий канал обслуговує М заявок за од. часу. Тоді

(2.47)

Приклад 7. На телефонній станції є три лінії зв'язку. Заявка, виклик, що прийшов у момент, коли всі лінії зайняті, одержує відмову. Інтенсивність потоку викликів  =0,8 в/хв. Середня тривалість розмови t_об = 1,5 хв. Всі потоки найпростіші. Знайти ймовірності станів, абсолютну і відносну пропускну спроможності, ймовірність відмови, середнє число зайнятих каналів.

Рішення. Інтенсивність обслуговування

Приведена інтенсивність потоку заявок

По формулах Ерланга

Р₁ = 1,2.0,312 = 0,374; Р₂ = 0,72.0,312 = 0,224

Р₃ = 0,288 . 0,312 = 0,09

Відносна й абсолютна пропускні спроможності дорівнюють:

q = 1 - P₃ = 0,91; A = q = 0,80,91 = 0,728

Середнє число зайнятих каналів k = (1 - P_відм) = 1,2^.0,91 = 1,09 тобто при сталому режимі роботи С.М.О. у середньому буде зайнятий 1 канал, два будуть простоювати. Але зате рівень ефективності обслуговування високий, біля 91 % викликів буде обслуговувана.

Зауваження 5 із (42) при n=1 можна одержати формули Ерланга для одноканальній С.М.О.

Р_відм. = (2.48)

Зауваження 6. Формули Ерланга вірні для будь-якого закону розподілу часу обслуговування, не тільки показового, аби лише вхідний потік був найпростішим.

Зауваження 7. Формулами Ерланга з відомим наближенням можна користуватися, коли потік заявок незначно відрізняється від найпростішого.

Зауваження 8. Формулами Ерланга можна приблизно користуватися й у випадку, коли С.М.О. припускає чекання заявки в черзі, але коли термін очікування малий у порівнянні із середнім часом обслуговування однієї заявки.