2.4.1. Граничні ймовірності станів для н.М.Л. Теорема Маркова

Припустимо, що всі інтенсивності потоків подій _ij=const, іншими словами, усі потоки подій - найпростіші (стаціонарні пуасонівські) потоки [2;3].

Виникає питання, що буде із системою S при ? Чи буде функція P_i(t), i = 1, , 4, рішення системи рівнянь Колмогорова (2.21) - (2.22) прагнути до будь якої межі

P_i(t) = P_i (2.23)

називаються граничними ймовірностями системи.

Теорема Маркова (для Н.М.Л.) Якщо число станів системи S кінцеве і з кожного стану можна перейти (за те чи інше число кроків) у кожний інший, то граничні ймовірності станів існують і не залежать від початкового стану системи.

Очевидно, що P_i = 1.

Таким чином, якщо виконується теорема Маркова для системи S(Н.М.Л.), то при в системі S встановлюється деякий граничний стаціонарний режим: система випадковим чином змінює свої стани, але ймовірність кожного з них не залежить від часу. Ці ймовірності можна трактувати як середній відносний час перебування системи в даному стані.

Наприклад, якщо у системи три стани S₁; S₂; S₃ і їхні граничні ймовірності Р₁ = 0,1; Р₂ = 0,4; Р₃ = 0,5, то це означає: після переходу до сталого режиму система, у середньому, 1/10 часу буде знаходитися в S₁; 0,4 у S₂, 0,5 у S₃.

Тому що в сталому режимі усі P_i = cоnst, тобто не залежать від часу, то P_i= 0. Тоді система диференційованих рівнянь Колмогорова (21) перетвориться в систему лінійних алгебраїчних рівнянь, у яких усі ліві частини рівні нулю. Розв'язавши її з урахуванням P_i = 1, одержимо граничні ймовірності P_i.

3. Теорія масового обслуговування (т.М.О.) Задача і предмет т.М.О.

При дослідженні операцій часто приходить зіштовхуватися з аналізом систем масового обслуговування (С.М.О.).

Приклади СМО: телефонні станції, ремонтні майстерні, білетні каси, довідкові бюро, майстерні магазини і т.і.

Структура СМО:

Мал. 8

Як видно із схеми, мал.8, СМО призначена для обслуговування (виконання) якогось потоку заявок (вимог), що надходять на СМО в якісь випадкові моменти часу.

Внутрішній стан СМО характеризується наявністю якогось числа одиниць обслуговування, каналів обслуговування.

У якості каналів можуть бути: лінії зв'язку, робочі точки, прилади, ліфти і т.д.

СМО можуть бути одноканальними і багатоканальними. Обслуговування вимоги продовжується деякий (у загальному) випадковий час, після чого канал звільняється і готовий до роботи, тобто обслуговуванню наступної вимоги (заявки). Випадковий характер потоку заявок призводить до того, що в якісь проміжки часу на вході СМО утвориться зайво велике число заявок, вони або стають у чергу, або покидають СМО. У інші ж періоди СМО може працювати з недовантаженням або взагалі простоювати.

Кожна СМО в залежності від числа каналів і їхньої продуктивності, а також від характеру потоку заявок, володіє якоюсь пропускною спроможністю, що дозволяє їй більш-менш успішно справлятися з потоком заявок.

Таким чином предмет теорії М.О. - встановлення залежності між характером потоку заявок, числом каналів, їхньою продуктивністю, правилами роботи С.М.О. і успішністю (ефективністю) обслуговування.

У якості характеристик ефективності обслуговування можуть застосовуватися:

1) середня кількість заявок, яку може обслужити С.М.О. в одиницю часу;

2) середній відсоток заявок, що одержують відмову і покидають С.М.О. необслуговуваними;

3) ймовірність того, що заявка, яка надійшла, негайно буде прийнята до обслуговування;

4) середній час очікування в черзі;

5) закон розподілу часу очікування;

6) середня кількість заявок у черзі;

7) закон розподілу числа заявок у черзі;

8) середній прибуток, принесений С.М.О. в одиницю часу і т.д.

Випадкові характери потоку заявок і часу їх обслуговування призводить до того, що в С.М.О. буде відбуватися випадковий процес.

Теорія масового обслуговування займається вивченням і математичним описанням випадкових процесів, що протікають у С.М.О., із метою керування процесом.

Математичний аналіз роботи С.М.О. дуже спрощується, якщо випадковий процес, що протікає в системі є марковським, тобто щоб усі потоки подій, що переводять систему із стану у стан, були пуасонівськими (потоками без наслідків). Для С.М.О. потоки подій - це потоки заявок, потоки “обслуговування” заявок і т. і.

Властивості і характеристики пуасонівських процесів ми вже розглядали.

Нагадаємо, коли пуасонівський потік стаціонарний (найпростіший потік,  = const), інтервал часу Т між подіями в цьому потоці є випадкова величина, розподілена за показовим законом: f(t) = e- ^*t t > 0 (2.24)

де - інтенсивність (точність) потоку подій:

У випадку, коли з якогось стану St систему виводять відразу декілька найпростіших потоків, величину Т, час перебування системи (підряд) у даному стані, є випадкова величина, розподілена за законом (2.24), де  - сумарна інтенсивність усіх потоків подій, що виводять систему з даного стану.