5. Схема
Схема - это чертеж, на котором все взаимосвязи и взаимоотношения величин передаются приблизительно, без соблюдения масштаба.
Схема является наиболее предпочтительной моделью при решении задач по ряду причин:
1) она исключает пересчет (как и чертеж);
2) может быть использована при решении задач со сколько угодно большими числами;
3) может применяться при решении задач с буквами;
4) достаточно конкретна и полностью отражает внутренние связи и количественные отношения в задаче;
5) позволяет подняться на достаточно высокую ступень абстрактности: не отражает никаких отношений, кроме количественных;
все второстепенные детали опущены;
выбор действия производится без учета главного слова, а только исходя из логики происходящих изменений, которые отражены в модели;
6) внешняя схожесть схем подчеркивает однотипность рассуждений при поиске решения задач;
7) способствует формированию общего способа действия в задачах одного типа.
Авторы традиционного учебника предлагают знакомить учеников со схемой в 3-м («1-4») классе. Пример - на с. 64 в задаче № 1 (учебник М. И. Моро «Математика 3 (1-4), ч. 1»).
На мой взгляд, знакомить учащихся со схемой можно уже во 2-м («1-4») классе, так как подбор задач в данном классе позволяет применять указанную модель, сделать эту работу интересной и продуктивной (на материале обратных задач, при решении задачи разными способами и т. д.).
Построение учащимися разных схем к одной и той же задаче ведет к различному ходу рассуждений и, следовательно, разным способам решения задачи.
Например, в задаче № 3 (2-й («1-4») класс, с. 100) ученики могут найти два способа построения схемы и, следовательно, два способа решения задачи:
«У Зины было 20 р. и 50 р. Она истратила 40 р. Сколько денег осталось у Зины?».
Ход рассуждения по данной модели: (20+50)-40=30 (р.).
Ход рассуждения по другой модели:
(50-40)+20=30 (р.).
6. Блок-схема
Этот вид модели еще называют «виноградная гроздь», «дерево рассуждений» (последнее название принято и в моем классе).
Некоторые методисты не выделяют блок-схему как отдельную модель. На мой взгляд, это неверно, так как при составлении модели в виде блок-схемы используются приемы, отличающиеся от приемов составления моделей других видов.
Во-первых, разбор задачи начинается с вопроса (то есть аналитическим способом), что подразумевает выбор «двух числовых значений одной или разных величин таким образом, чтобы дать ответ на вопрос задачи». Применение же моделей других видов допускает рассуждение и синтетическим (то есть отданных - к вопросу задачи) или аналитико-синтетическим способом (соединение двух предыдущих способов).
Во-вторых, в блок-схеме нет опорных слов, на которые можно ориентироваться при выборе действия (как в краткой записи).
В-третьих, отсутствует зрительный ориентир для сравнения величин между собой (как при работе со схемой и чертежом).
В-четвертых, ребенок ориентируется только на взаимоотношения и взаимосвязи, описанные в задаче.
Составление блок-схемы сопровождается обязательным поэтапным анализом. Рассмотрим это на примере задачи № 7 (2-й («1-4») класс, ч. 1, с. 40):
«В саду собрали 26 корзин слив, груш на 6 корзин больше, чем слив, а яблок на 5 корзин больше, чем груш. Сколько корзин яблок собрали в саду?».
Учащиеся знают, что числовые данные (известные и неизвестные) обозначаются в кругах.
-Что требуется найти в задаче? (Количество корзин с яблоками.) Начинаем построение блок-схемы с неизвестного.
-Что нужно знать, чтобы найти количество корзин с яблоками? (Количество корзин с грушами.) Как связаны между собой яблоки и груши? (Яблок на 5 корзин больше, чем груш.)
- Как мы обозначим в модели количество груш? (Знаком вопроса, потому что оно неизвестно.)
- Что нужно знать, чтобы ответить на следующий вопрос: Сколько было груш ? (Количество слив.)
- Как связаны между собой груши и сливы? (Груш больше на 6 корзин, чем слив.)
- А количество слив нам известно? (Слив - 26 корзин.)
- Не забудем расставить порядок действий в модели.
О некоторых результатах работы по моделированию на уроках математики
После систематической работы на данном этапе учащиеся добились следующих результатов:
изучили шесть видов моделей (рисунок, краткую запись, схему, чертеж, таблицу, блок-схему);
научились применять в одной и той же задаче несколько видов моделей (с целью выбора каждым учеником наиболее понятной ему модели);
сравнивать несколько моделей между собой (с целью выбора наиболее рациональной);
выбирать из множества изученных моделей наиболее подходящую к предложенной задаче (ориентируясь на числовые данные, возможность отнести задачу к тому или иному типу);
анализировать, дополнять или упрощать предложенные модели.
На основе моих наблюдений за детьми в процессе этой деятельности я пришла к некоторым выводам.
После систематической работы над всеми шестью видами моделей в классе спонтанно произошло деление учащихся на три группы по предпочтению моделей текстовых задач того или иного типа: «слабые» используют, как правило, рисунок, краткую запись, реже - таблицу; «средние» в зависимости от типа задачи применяют рисунок, краткую запись, таблицу, чертеж, схему; «сильные» смело приступают к блок-схеме, используя и другие виды моделей.
Но все ученики без исключения не боятся самостоятельно начать анализ задачи; в случае неудачи они, используя другую модель, анализируют задачу вновь. Следовательно, моделирование помогает вооружить ребенка такими приемами, которые позволяют ему при самостоятельной работе над задачей быть активным, успешным, не бояться трудностей. Каждый, не сравнивая себя с другими, выбирает собственный путь рассуждения, моделирования и, следовательно, решения задачи.
В стандарте, в требованиях к предметным результатам освоения основной образовательной программы начального общего образования по математике, одним из требований является умение решать текстовые задачи. Одну и ту же задачу можно решить разными способами. Решение задач разными способами имеет важное методическое значение и представляет большие возможности для совершенствования процесса обучения математике.
Поиск различных способов решения задачи:
один из эффективных путей реализации дидактических принципов сознательности и активности усвоения учебного материала;
способствует формированию и развитию гибкости мышления, развитию не только интеллекта, но и ряда нравственных качеств, во многом определяет мировоззрениешкольника.
направлен и на эстетическое воспитание учащихся. Именно здесь школьники учатся самостоятельно находить более простые и красивые решения задач, начинают видеть взаимосвязь всех частей математики, а значит, и красоту этой науки.
Решение задач разными способами вполне естественно вписывается в процесс проведения урока. Мы составили систему различных методических приёмов, позволяющих показать учащимся разные способы решения задачи на уроке в начальной школе:
пояснение готовых способов решения задачи;
разъяснение плана решения задачи;
соотнесение пояснения с решением задачи;
продолжение начатых вариантов решения задачи;
нахождение «ложного» варианта решения из числа предложенных;
использование записи-подсказки;
заполнение схемы выражений, записанных по данной задаче.
Рассмотрим каждый из приемов на конкретной задаче: «На двух полках 12 книг, на одной на 2 книги больше, чем на другой. Сколько книг на каждой полке?»
Модель к задаче:
Первый прием - пояснение готовых способов решения.
Например, по предложенной выше задаче можно дать задание обосновать смысл действий в каждом из 9 способов.Учитель предлагает возможные способы решения задачи. Учащиеся поясняют каждое арифметическое действие.
1 способ 1) 12-2=10 (кн.) 2) 10:2=5 (кн.) 3) 5+2=7 (кн.)
2 способ 1) 12-2=10 (кн.) 2) 10:2=5 (кн.) 3) 12-5=7 (кн.)
3 способ 1) 12+2=14 (кн.) 2) 14:2=7 (кн.) 3) 12-5=7 (кн.)
4 способ 1) 12+2=14 (кн.) 2) 14:2=7 (кн.) 3) 7-2 =5 (кн.)
5 способ 1) 12:2=6 (кн.) 2) 2:2=1 (кн.) 3) 6-1=5 (кн.) 4) 12-5=7 (кн.)
6 способ 1) 12:2=6 (кн.) 2) 2:2=1 (кн.) 3) 6-1=5 (кн.) 4) 6+1=7 (кн.)
7 способ 1) 12:2=6 (кн.) 2) 2:2=1 (кн.) 3) 6-1=5 (кн.) 4) 5+2=7 (кн.)
8 способ 1) 12:2=6 (кн.) 2) 2:2=1 (кн.) 3) 6+1=7 (кн.) 4) 12-7=5 (кн.)
9 способ 1) 12:2=6 (кн.) 2) 2:2=1 (кн.) 3) 6+1=7 (кн.) 4) 7-2=5 (кн.)
Второй прием – разъяснение плана решения задачи.
Учащимся предлагаются планы решения в различных формах: повелительной, вопросительной и т.д. На основе плана решения необходимо составить арифметические действия к каждому способу.
Третий прием – прием соотнесения пояснения с решением.
Учащимся предлагаются несколько планов и способов решения. Нужно сопоставить план и способ решения. Желательно, чтобы количество арифметических действий в каждом способе было одинаковое.
1 способ 1) книги первой полки, взятые 2 раза 2) книги на первой полке 3) книги на второй полке
2 способ 1) книги второй полки, взятые 2 раза 2) книги на второй полке 3) книги на первой полке
1 способ 1)12+2=14 (кн.) 2)14:2=7 (кн.) 3)7-2=5 (кн.)
2 способ 1) 12-2=10 (кн.) 2) 10:2=5 (кн.) 3) 12-5=7 (кн.)
3 способ 1) 12+2=14 (кн.) 2) 14:2=7 (кн.) 3) 12-7=5 (кн.)
4 способ 1) 12-2=10 (кн.) 2) 10:2=5 (кн.) 3) 5+2=7 (кн.)
Четвертый прием - продолжение начатого способа решения.
Учащимся предлагается часть решения задачи, которую они должны пояснить, затем самосто¬ятельно дополнить вариант суждения.
Пятый прием – нахождение «ложного» способа решения.
Предлагаются различные математические записи без пояснения арифметических действий, так как возможны варианты, где в ответе на требование задачи численные значения совпадают, а поясне¬ния к ним - различны. Учащиеся должны найти неверное решение и доказать, что оно ложно.
Шестой приём – решение задачи с использованием записи-подсказки.
1 способ:
1) …-…=… (кн.) – удвоенные книги первой полки 2) … : …=… (кн.) - книги на первой полке 3) …+…=… (кн.) – книги на второй полке
Остальные способы аналогично
Седьмой приём - заполнение схемы выражений, записанных по данной задаче.
Учащимся предлагается заполнить схемы выражений, записанных к данной задаче.
Первая схема (…-…) : …=… (…-…) : …+…=…
Вторая схема (…+…) : …=… (…-…) : …-…=…
Третья схема (… : …)-(… : …)=… (… : …)+(… : …)=…
Решение задач разными способами включает учащихся в поисковую деятельность, тем самым создаёт условия для развития их мышления. Это помогает учащимся структурировать данные (ситуацию), выяснять математические отношения, создавать математическую модель ситуации, анализировать и преобразовывать её, что создает условия для формирования математической компетентности учащегося, которая дает возможность адекватного применения математики для решения возникающих в повседневной жизни проблем. А это соответствует требованиям Федерального государственного образовательного стандарта начального общего образования.
На уроке организую самостоятельную работу учащихся по карточкам. Работа строится таким образом, чтобы каждый выбрал задание в соответствии со своими возможностями. При выполнении заданий отмечаю отличие заданий по трудности – лёгкости.
Пример № 2
Даны задачи:
а) В автобусе было 10 пассажиров, вышло 4. Сколько пассажиров осталось?
б) В автобусе было 10 пассажиров, вышло 4, а потом ещё 2. Сколько пассажиров осталось?
в) В автобусе было 10 пассажиров, вышло 4, а потом ещё 2, а 3 человека вошло. Сколько пассажиров стало?
Делаю на доске запись:
Знаешь, как решить решай.
Решил, приступай к решению задачи следующего уровня.
У каждого ученика на парте лежит карточка с заданием трёх уровней. Класс не делится на группы. Все ученики в одинаковых условиях. Учитель даёт задание прочитать задачу первого уровня. Если ребёнок понял, как решать задачу он поднимает карточку зелёного цвета, если затрудняется поднимает карточку красного цвета. Учеников, у которых возникло затруднение я приглашаю за отдельный стол, где находятся карточки помощницы или работаю с ними индивидуально. Так с каждым уровнем решения задачи. Таким видом работы над задачей нацеливаем каждого ученика на адекватный выбор сложности задания. «Примериваем» задания к ученику: «Почему ты смог выполнить это задание», «Что помогло это сделать?» Такая организация самостоятельной работы при решении задач способствует повышению познавательного интереса учащихся, выполнивших задание только первого уровня. У учеников возникает естественное желание самостоятельно выполнить все предложенные задания. Выполнить более сложное задание становиться целью каждого ученика.
Пример самостоятельной работы над задачей с лишними данными с использованием дозированной, постепенно увеличивающейся помощи:
Пример № 3
Задача: Дядя Федор поехал с папой в Простоквашино на 5 дней. Дядя Фёдор привёз в подарок Матроскину 15 бутербродов, а папа 13 бутербродов. Сколько бутербродов съел Матроскин, если через 2 дня у него осталось 9 бутербродов?
Карточка 1
Прочитай задачу внимательно. Она не совсем обычная. Подумай, что в задаче известно и что нужно узнать. Реши задачу.
Карточка 2
Подумай, все ли числа нужно использовать при решении задачи
Карточка 3
В задаче есть лишние данные. Подумай, какие числа не нужны для решения задачи.
Карточка 4
Подумай, верно ли составлена краткая запись задачи:
Привезли- ? 15 б. и 13 б.
Съел - ?
Осталось – 9 б.
Карточка 5
Подумай, как можно узнать , сколько всего бутербродов привезли Матроскину и сколько он их съел?
Для того чтобы организовать разноуровневую работу над задачей в одно и то же время, отведённое для этого на уроке, мы используем индивидуальные карточки задания разные по цвету, которые готовим заранее в четырёх вариантах. Карточки содержат системы заданий, связанных с анализом и решением одной и той же задачи , но на разных уровнях.
Пример 4. М. И. Моро 2 класс №4 стр26
Около школы 8 лип, а берёз на 2 больше, чем лип. Сколько всего лип и берёз посадили около школы?
итель предлагает взять карточку зелёного цвета и выполняют задание, затем красного, жёлтого и белого. Каждый цвет обозначает этап решения задачи.
«Лучше решить одну задачу несколькими способами, чем несколько задач – одним». Д.Пойа
Литература:
1. Белошистая А.В. Методика обучения математике в начальной школе. М.: ВЛАДОС, 2007
2. Дроботенко Н.М. Нестандартный урок математики по теме «Решение задач разными способами. Закрепление».// Начальная школа. – 2005. – №1. с.58.
3. Кожухов С.К., Кожухова С.А. О методической целесообразности решения задач разными способами. // Математика в школе. – 2010. - №3 с.42
4. Федеральный государственный образовательный стандарт начального общего образования.
Этапы
1 группа
2 группа
3 группа
Восприятие и осмысление задачи
Дан ертёж.Найди и покажиданные и искомые
Л. 8
?
Б. на2 б.
Подписать данные и искомые на чертеже
Самостоятельно составить чертёж и подписать
Поиск плана решения
План решения
1) 8+ = 10 (б.)
2) + = 18 (д.)
Закончить начатый план
1) + = (б.)
2) + = (д.)
Записать план решения
Выполнение
плана решения
Записать по действиям
Записать по действиям с пояснением к каждому действию
Записать по действиям и выражением
Проверка
Сравнение с образцом
Сравнение с образцом
Придумай свою задачу, которая имеет такое же решение, с такими же числами и сравни результаты.
Заключение.
Работа над текстовой задачей остается одним из важнейших аспектов обучения в начальной школе, когда закладываются основы знаний; является движущим фактором в развитии младших школьников. Из текстов задач дети открывают новое об окружающем мире, испытывают чувство удовлетворения и радости от их успешного решения.
Решение текстовых задач и нахождение разных способов их решения на уроках математики способствует развитию у детей мышления, памяти, внимания, творческого воображения, наблюдательности, последовательности рассуждения и его доказательности, развитию умения кратко, четко и правильно излагать свои мысли.
Большое значение имеет решение задач и в воспитании личности учащихся: прививается культура мышления, общения и выражения собственных мыслей, вырабатывается умение слушать мнение учителя и одноклассников, анализировать и оценивать услышанное, вырабатывается аккуратность в ведении записей, расширяется кругозор, воспитывается чувство коллективизма среди школьников и т.д.
Мне важно, чтобы умение решать задачи разными способами позволяло моим учащимся более свободно ориентироваться в простейших математических закономерностях окружающей действительности и использовать накопленные знания при дальнейшем изучении курса математики.
Необходимо с первого класса учить детей разбивать текст на смысловые части и моделировать ситуации, отраженные в текстовой задаче. Предметное и графическое моделирование математической ситуации при решении текстовых задач давно применяется в школьной практике, но без должной системы и последовательности, что объясняется неправильным пониманием роли наглядности в обучении и развитии учащихся. Как отмечает Л.Ш. Левенберг, «рисунки, схемы и чертежи не только помогают учащимся в сознательном выявлении скрытых зависимостей между величинами, но и побуждают активно мыслить, искать наиболее рациональные пути решения задач, помогают не только усваивать знания, но и овладевать умением применять их».
Решение задач разными способами включает учащихся в поисковую деятельность, тем самым создаёт условия для развития их мышления. Это помогает учащимся структурировать данные (ситуацию), выяснять математические отношения, создавать математическую модель ситуации, анализировать и преобразовывать её, что создает условия для формирования математической компетентности учащегося, которая дает возможность адекватного применения математики для решения возникающих в повседневной жизни проблем. А это соответствует требованиям Федерального государственного образовательного стандарта начального общего образования.
«Лучше решить одну задачу несколькими способами, чем несколько задач – одним». Д. Пойа