2.3. Неустановившееся движение в напорном трубопроводе. Гидравлический удар

Уравнение одно­мерного неустановившегося движения

z1+P1/ρg+α1v12/2g=z2+P2/ρg+α2v22/2g+hc+hi,

(3.67)

где h_с — потери в гидравлических сопротивлени­ях, вычисляемые в первом приближении по тем же формулам, что и для установившегося движения; h_i=(1/g)∫_l1^l2(∂v/∂t)dl — инерционный напор, вычисляемый по средней скорости v .

Для трубы постоянного диаметра инерционный напор

hi=(1/g)(∂/∂t)∫l1l2vdl=(L/g)(dv/dt)=(L/gS)(dV/dt)

(3.68)

где l — координата, отсчитываемая вдоль оси трубы; S — площадь сечения; L — длина участка трубы.

При медленно изменяющемся во времени неус­тановившемся движении (например, при истечении из большого резервуара через малое отверстие) инерционным напором можно пренебречь, и тогда расчетные зависимости приобретают тот же вид, что и для установившегося движения.

Гидравлический удар в трубах является одним из видов неустановившегося движения и проявля­ется в резком изменении давления в трубе, вызван­ном маневрированием (закрытием или открытием) затвора. Течение при гидравлическом ударе описы­вается системой дифференциальных уравнений

(∂H/∂l)=if+(1/g)(∂v/∂τ)-(v/g)(∂v/∂l) (∂H/∂τ)-v(∂H/∂l)=(a2/g)(∂v/∂l)

(3.69)

где H = z+ р/(ρg) — пьезометрический напор; v — средняя скорость; l — координата, отсчитываемая вдоль оси трубы; а — скорость распространения в трубе ударной волны (см. ниже); i_f — уклон трения (потеря энергии на трение на единице длины тру­бы).

Если длина трубопровода не очень велика, то уклоном трения i_f пренебрегают [10]. Обычно пренебрегают также членами v(∂H/∂l) и v(∂v/∂l , используя уравнения удара в виде

d²v/d²=a²d²v/dl²; d²H/dτ²=a²d²v/dl²

Поскольку величинами i_f и v₂/2g пренебрега­ют, при установившемся режиме пьезометриче­ский напор по длине трубы постоянен.

Рис. 3.16. Схема к выводу уравнений гидравлического удара в трубах

Рис.3.16Таким образом, система (3.69) приводится к двум волновым уравнениям, общие решения кото­рых применительно к схеме рис.3.16,а имеют вид

H-H0=f (t-l/a)+ φ(t+l/a) v-v0=-g/a[f (t-l/a)+ φ(t+l/a)]

(3.70)

где H₀ и v₀— соответственно пьезометрический напор и скорость в трубе при установившемся дви­жении; f и φ— произвольные функции; а — скорость распространения в трубе волны изменения давления, определяемая формулой Жуковского:

a=a0/√(1+εD/Eδ)

(3.71)

где а₀ =√(ε/ρ)— скорость распространения зву­ка в жидкости;ε — объемный модуль упругости жидкости; Е— модуль упругости материала сте­нок; D— диаметр трубы; δ— толщина ее стенок.

Таблица 3.11 Скорость распространения волны гидравлического удара в трубах

D , мм	Стальные трубы		Чугунные трубы		Асбоцемент­ные трубы
[[Image:]], мм	а, м/c	[[Image:]], мм	а, м/с	[[Image:]], мм	а, м/с
50	4,0	1355	7,5	1340	9,0	1130
75	4,0	1315	8,0	1300	9,0	1040
100	5,0	1310	8,5	1280	11,0	1025
125	5,0	1280	9,0	1250	12,0	990
150	6,0	1280	9,5	1235	14,0	980
200	6,0	1240	10,5	1200	16,0	940
250	6,0	1205	11,5	1175	19,0	930
300	7,0	1200	12,5	1160	23,0	925
350	7,0	1170	13,0	1140	27,0	925
400	8,0	1170	14,0	1120	30,0	920
450	8,0	1148	15,0	1110	34,0	920
500	8,0	1125	16,0	1100	38,0	920
600	9,0	1110	18,0	1085	45,0	920
700	9,0	1075	21,0	1085	—	—
800	10,0	1071	24,0	1085	—	—
900	11,0	1060	27,0	1085	—	—
1000	12,0	1060	30,0	1085	—	—

При давлениях 10² —25ּ10² кПа и температуре Т= 10°С а₀ = 1435 м/с. Значения скорости распро­странения ударной волны в трубах из разных мате­риалов приводятся в табл.3.11.

Единицей времени в теории гидравлического удара служит фаза удара, т.е. время θ пробега удар­ной волны двойной длины трубопровода L: θ = 2L/а.

В зависимости от закона закрытия или откры­тия затвора и параметров трубы возникает прямой или непрямой гидравлический удар.

Прямой удар возникает, если время закрытия (открытия) меньше фазы удара (Т ≤ θ ). Ударное из­менение пьезометрического напора в этом случае определяется формулой

Hк-H0=a/g(v0-vк

(3.72)

где H₀, v₀ и Н_к, v_к — соответственно напор и ско­рость в трубопроводе перед затвором до удара и в конце процесса закрытия (открытия).

Если затвор закрывается полностью, то v_к= 0 и ударное изменение напора выражается формулой Жуковского для прямого удара

Hк-H0=ΔH=av0/g

(3.73)

Учитывая, что для стальных трубопроводов а=1000 м/с, принимаем ΔH=100v₀, где v₀— в метрах в секунду.

Непрямой удар имеет место, если закрытие (от­крытие) происходит за время Т >θ. Для непрямого удара можно из (3.70) вывести цепные уравнения, связывающие значения скорости перед затвором v_iθ с соответствующими значениями напора H_iθ , в кон­цах каждой из фаз в течение времени закрытия Т (см. (3.74)), где индексами θ, 2θ отмечены значения напора и скорости в конце каждой из n фаз, составляющих в сумме интервал времени закрытия (открытия) Т.

Hθ-H0=ΔH=a(v0-vθ)/g; Hθ-H2θ-2H0=ΔH=a(vnθ-v2θ)/g; ………………………………... Hnθ-H(n+1)θ-2H0=ΔH=a(vnθ-v(n+1)θ)/g;

(3.74)

Если закон изменения скорости перед затвором v = F(t) известен, то известны значения правых час­тей всей цепочки уравнений (3.74), и тогда, последо­вательно вычисляя H_iθ (начиная с i= 1), с помощью уравнений (3.74) строим график изменения напора от фазы к фазе и по нему находим максимальный (или минимальный) напор, а значит, и давление.

Однако во многих случаях скорость перед за­твором может быть определена только по извест­ным значениям напора. Например, при свободном истечении через затвор справедлив квадратичный закон. В этом случае, вводя относительные величины α= Ω/Ω_mах; ζ = H/H₀; ρ=аV₀/(2gН₀), где Ω и Ω_mах — соответственно текущее и макси­мальное значения площади проходного отверстия затвора; V₀ — скорость в трубе при Ω = Ω_mах и H = H₀; ρ — параметр, систему (3.74) представляем в безразмерной форме [10]:

ζ0-1=2ρ(α0-αθ√ζθ); ζθ+ζ2θ-2=2ρ(αθ√ζθ-α2θ√ζ2θ); ……………………………………. ζnθ+ζ(n+1)θ-2=2ρ(αnθ√ζnθ-α(n+1)θ√ζ(n+1)θ);

(3.75)

Индексом nθ отмечены значения параметров перед затвором в конце n-й фазы.